8 E⸗

seitige Lage näher ein, worauf dann wieder in der 15ten eine umfassende Vergleichung vorgenommen wird. Hliermit sind nun zwar die UÜbungen des ersten Abschnits, deren Reihenfolge sich einer näheren Beleuchtung gegenüber selbst rechtfertigen mag, noch nicht völlig abgeschlossen. Weil aber die letzte derselben, die 16te, in welcher die Körper nach ihren Haupt- und Nebenachsen, ihren Stellungen(od. Lagen) und Ansich- ten betrachtet werden sollen, den Schülern durch die Übungen des zweiten Abschnits des analytischen Teils, welcher es mit der selbständigen Betrachtung der Flächen und Linien zu tun hat, zugänglicher gemacht wird, so folgt sie erst nach dem Schlusse des- selben, in einem dritten.

Die Reihenfolge der Übungen des 2ten begint wieder mit der Einteilung und Be- nennung der Flächen, deren Vorkommen an mathematischen und andern Körpern auf- gesucht wird. Wir teilen die Flächen, wie früher, in ebene, gemischtgebogene und rein gebogene ein. Die ebenen Flächen ſteilen wir wieder nach ihrer Begren- zung in gradlinig und in krumlinig begrenzte, und in solche ein, welche von geraden und krummen Linien begrenzt werden, schliessen dabei aber in der ersten Unterabtei- lung diesses Abschnits noch alle anderen krummen Linien, ausser dem Kreise, aus. Hier wird die Mannichfaltigkeit der Flächen viel grösser als die ist, welche wir als Grenz- flächen der Körper kennen gelernt haben; wir beschränken uns aber auch hier fast nur auf die symmetrischen und regelmässigen*) Formen, von den unregelmässigen nemen wir hier meist noch Umgang, ausser bei den einfachsten Figuren, wo ihre Mannichfal- tigkeit noch nicht zu gross und leichter zu übersehen ist, also bei dem Dreieck, und nur hin und wieder beim Viereck. Ein Beispiel aus den krumlinig begrenzten Ebenen

*) Der Begriff der regelmässigen Figur wird hier nicht so gefasst, dass sie gleiche Seiten und Winkel habe, welche wir vielmer gleichmässige nennen, sondern so dass sich in ibrer Gestalt eine gewisse Regel wiederhole, one dass sie ein völliges oder ein teilweises Gleichmass der Fläche nach besitze. Haben sie dieses aber, dann unterscheiden wir vielseilig, doppelt zweiseitig und zweiseilig gleichmässige oder symmetrische. So sind z. B. das gleichseitige Dreieck, das Quadrat und der Kreis gleichmässige Figuren; vielseitig gleichmäesige oder symmetrische sind die mit gleichen Seiten und äbwechselnd gleichen Winkeln oder mit gſeichen Winkeln und abwechselnd gleichen Seiten, die Sternformen etc.; doppelt zweiseitig gleichmässige,(nämlich sowol nach rechts und links

als auch nach oben und unten) die Raute, das längliche Rechteck; zweiseitig gleichmässige sind das gleichmässige Trapez, das gleichmässige Trapezoid mit lauter erhabenen Ecken und das mit einem holen Eck; eine regelmässige Figur ist die Langraute.