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liegt, so gilt auch für diesen Punkt ZR+ 27R= 2a= Sr S= und es folgt, da Z und Zu

symmetrisch zur kleinen Achse liegen, ZR= ZinR und ZR= a=— 5.

. Man findet

also bei der Ellipse die Brennpunkte als Schnittpunkte der großen Achse mit dem Kreise(r= a) um den Nebenscheitel R.

Bei der Parabel läßt sich der Brennpunkt durch Anwendung des Satzes 65 finden. Ist in Figur 34 durch den Endpunkt O des Parameters die Tangente gezogen, die die Achse in F' schneiden möge, so ist ZF= ZO; d. h. der Punkt F fällt mit dem Punkte F zusammen. Da FZO ein Rechter, so sind die Winkel ZFO und FZO Winkel von 45°. Man bestimme daher den Berührungspunkt einer der beiden Tangenten, welche mit der Achse einen Winkel von 45° bilden, und fälle von O das Lot OZ auf die Achse. Dann ist Z der gesuchte Brennpunkt.—

Um einen allgemein gangbaren Weg zu finden, betrachten wir wieder die Figuren 32 und 33, setzen aber in Fig. 33 für Z Z2' und umgekehrt Z“ für Z.

TPA ist eine Tangente und es ist bewiesen worden, daß A TAZ= TAZ“ ist. Macht man AN=AZ, so wird ANZ gleichschenklig und AGZ= 1R, da GCAZ=GAN ist.

Der Punkt G stellt also den Fußpunkt des von einem Brennpunkt Z(Zo) auf eine Tangente(AT) gefällten Lotes dar. Untersuchen wir nun, welches der geome- trische Ort der Fußpunkte aller auf die Kurventangenten gefällten Lote ist.

Da ANZ gleichschenklig und NAG= GAZ, so ist auch NG= GZ. In dem Dreiecke NZZ“ ist daher eine Seite(NZ) halbiert; halbiert man auch die Seite Z2Z¹ (in M), so ist GMINZ' und GCM= 1½ NZ. Bezeichnet man die Scheitel des Kegel- schnittes(das sind die Schnittpunkte der großen Achse mit der Kurve) mit Si und S2 und ihre Entfernung mit 2a, so ist nach Satz 58, 59 AZ=XAZ=ANXAZ=NZ2'= a, wobei das+ für die Figur 32, das— für die Figur 33 gilt. In beiden Fällen ist demnach GM= z. 2a= a, also konstant.

Die Fußpunkte der von einem Brennpunkt auf alle möglichen Kegelschnitt- tangenten gefällten Lote liegen daher auf einem Kreise, der den Mittelpunkt M der Kurve zum Mittelpunkt und die halbe Hauptachse zum Radius hat.

Dieser Kreis berührt den Kegelschnitt in den Scheiteln 8i und 82; man nennt ihn daher den Scheitelkreis des Kegelschnittes.

Es ergibt sich sonach der

Satz: Der geometrische Ort für die Fufspunkte der von einem Brennpunkte auf die Tangenten des Kegelschnittes gefällten Lote ist der Scheitel- kreis des Kegelschnittes................ 66)

Da eine Parabel als eine Ellipse aufgefaßt werden kann, deren einer Brennpunkt ins Unendliche gerückt ist, so folgt, dab der soeben für die Ellipse(und Hyperbel) bewiesene Satz auch für die Parabel gelten muß. Mit dem einen Brennpunkt rückt auch ein Scheitel ins Unendliche; der Radius des Scheitelkreises wird daher unendlich groß und der Scheitelkreis selbst geht in die Scheiteltangente über. Man spricht daher den Satz 66 für die Parabel in der Form aus:

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