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Der geometrische Ort für die Fufspunkte der vom Brennpunkte auf

die Tangenten einer Parabel gefällten Lote ist die Scheitel-

tangente. 3............... 67)

Anmerkung: Will man den Satz für die Parabel direkt beweisen, so zeige

man(Fig. 34), daß die Verbindungslinie ZH des Brennpunktes mit dem Schnitt-

punkte H der Tangente AT und der Scheiteltangente SSi auf AT senkrecht steht.

(SZA+ DAZ= 2R, da FZz l DA; SZH= HZA nach Satz 60 und ZAH=HAD nach Satz 64. Also HZ½A+ ZAH=I R und somit auch AHZ= 1 R.)

Der Satz 66 bietet ein Mittel, die Brennpunkte eines gezeichnet vorliegenden oder durch fünf Elemente bestimmten Kegelschnittes zu finden: Man bringe den Kegelschnitt mit einem Kreise in Kollineation(Aufgabe 4, Seite 21) und bestimme die Hauptachse und die Hauptscheitel der Kurve(Aufgabe 2, Seite 21). Alsdann ziehe man eine beliebige Tangente(Aufgabe 2 oder 6, Seite 17) und den Scheitelkreis des Kegelschnittes. In den Schnittpunkten dieses Kreises mit der Tangente errichte man die Lote, die die Hauptachse in den gesuchten Brennpunkten treffen.

Anmerkung: Bei der Parabel streckt sich der Scheitelkreis zu einer Geraden aus. Da diese von der Tangente nur in einem Punkte geschnitten werden kann, gibt es bei der Parabel nur einen im Endlichen liegenden Brennpunkt.

Wir sind nunmehr im Stande, für einen beliebigen, durch einen geraden oder schiefen Kreiskegel erzeugten Schnitt eine harmonische Kollineation herzustellen, in der dem Kegelschnitt sein Parameterkreis verwandt ist, sei es nun, daß die Kurve in ihrem ganzen Verlauf oder nur teilweise gezeichnet vorliegt, oder daß von ihr fünf Punkte, oder Punkte und Tangenten gegeben sind. Es ist nur notwendig, nach der eben gegebenen Anleitung die Achsen und einen Brennpunkt zu bestimmen, den Parameter einzuzeichnen und über ihm als Durchmesser den Kreis zu beschreiben.

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Aufgaben: Die Brennpunkte eines Kegelschnittes zu bestimmen, von dem bekannt sind:

1. fünf Punkte;

2. vier Punkte und durch einen derselben die Tangente;

3. drei Punkte und durch zwei derselben die Tangenten;

4. drei Pangenten und auf zweien derselben die Berührungspunkte; 5. vier Tangenten und auf einer derselben der Berührungspunkt; 6. fünf Tangenten.

Einen Kegelschnitt zu zeichnen aus: den Scheiteln und einem Brennpunkt; den Scheiteln und einer Tangente; seinen Brennpunkten und einer Tangente; 10. einem Brennpunkt, einem Scheitel und einer Tangente.

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