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Fällt man von A das Lot AF“F auf die Leitlinien, so entsteht in A“ der sym- metrische Punkt für A in Beziehung auf die Nebenachse des Kegelschnittes und es ist AzZ: AF=A”Z: A“’F, oder, da AZ=AZ' und AF=AF- ist, AZ: AF= AZ: AF- oder AZ: AZ'= AF:AF..

Aus AAFTSAF“T“ folgt: AF: AF= AT: AT“; es ist also auch AZ:AZ=AT:AT’. Da nun T.2½εα&ϑ=ͤäAZT= 1R, so folgt N AZTO A”Z““ und daraus ArAZ=T=AZ-NAD)

Läßt man in Fig. 32 die Leitlinie le ins Unendliche rücken, so wird die Ellipse zur Parabel und der Brennstrahl A2Z' zu einem(der Achse ZZ parallelen) Durch- messer. Die Beziehung TAZ= T-⸗A2“ gilt dann auch für die Parabel. Wir geben jedoch für diese Kurve einen besonderen Beweis.(Fig. 34.)

Von einem Punkt T der Leitlinie ist die Tangente T A an die Parabel gezogen und ihre verwandte Kreistangente CA bestimmt worden. Die aus dem Schnittpunkt von l und CA ausgehenden Strahlen bilden sich als Parallele ab. TZ ist sein eignes Bild, das Bild von T A ist CA; also ist T2 lCA. Ebenso werden die Bilder aller aus F ausgehenden Strahlen parallel, daher DAIFZ. Nun ist, da von T†“ die Kreis- tangenten T⸗A und T gezogen sind, 2 T½⁊¶ A= TZF. Es ist aber auch T½2 F= GAD und T ZA=ZAG(da TZlDA und S=ZlGA). Also ist auch

AzZzAT= TAD.

Es ergibt sich daher allgemein der

Sate Jede Kegelschnitttangente bildet mit den Brennstrahlen des Be- rührungspunktes gleiche Winkel............ 64)

Da in Fig. 34 zugleich A ZͤAG= ZGA ist, folgt ZG= ZA, oder der

Satz: Jede Tangente einer Parabel schneidet die Achse so, dafs die Ent- fernung des Schnittpunktes vom Brennpunkt gleich der der Ent- fernung des Berührungspunktes vom Brennpunkt ist....... 65)

Nach Satz 51 ist jedem Kegelschnitte jeder seiner beiden Parameter-Kreise harmonisch verwandt. Liegt nun ein Kegelschnitt ganz oder teilweise vor, und soll derselbe nach der hier befolgten Methode untersucht werden, so wird es notwendig, seine Achsen und seine Brennpunkte zu bestimmen. Nun ist gezeigt worden, daß sich durch Herstellung einer gemeinen Kollineation Haupt- und Nebenachse finden lassen; für die Ermittelung der Brennpunkte ist ein auf jede Kegelschnittform anwendbares Verfahren noch zu suchen.

Anmerkung: Für eine gezeichnete Parabel oder Ellipse läßt sich der Brenn- punkt leicht ohne neue Hilfsmittel finden. Als erster geometrischer Ort für Z ergibt sich stets die große Achse, die für jede Kegelschnitt form gefunden werden kann. Betrachtet man nun in Fig. 32 den Punkt R der Ellipse, der auf der kleinen Achse