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Von diesen beiden Proportionen, die für beide Figuren(28 und 29) gelten, ver- wenden wir die eine

Pi Fi+ Pi Fz: Pi Ai+ Pi A2= S1 Fi+ 8i1 Fe: 81 Li+ S1 Lz2.... 3) für die Ellipse, Fig. 28, während die Differenzenproportion eine Deutung aus Fig. 29

erfährt. Für die Proportion 3) ergiebt sich aus der Figur 28: Pi Ai+ Pi Az= Ai Az= Li Lz= 81 Li+ 81 Ls; die Nenner der gleichen Brüche(vgl. Prop. 3) Pi Ai+ Pi Fz 81 Fi+ 81 F⸗ Pi Ai— Pi Az 8 81 L+ 81 Lz sind gleich, also folgt auch Pi Ai+ Pi Fz= 81 Fi+ 81 F== 81 Sz. Bezeichnet man die halbe kleine Achse M 8z mit a, so ist 81 S== 2a und es wird Pr A † P Fe= 2a........ 4) Wir nennen die Verbindungsstrecke eines Kegelschnittpunktes mit, einem Brenn- punkt einen Brennstrahl des Punktes und sprechen nun die Relation 4 aus als Satz: In jeder Ellipse ist die Summe der Brennstrahlen eines Punktes gleich der grofsen Achse................... 58)

Nehmen wir aus 3 die Differenzenproportion und vergleichen dieselben mit Fig. 29, so ergibt sich, daß alle vier Strecken der Proportion negativ sind. Wir schreiben daher Pi Fz— Pi Fi: Pi Ar— Pi Al= 8i Fe— S1 Fr: Si Lz— 81 La

Darin ist, Pi Az2— Pi Ai= Ai Az= LI Lz= 8i Lz— Si La In den gleichen Brüchen Pi Fe— PiE— Si Fz— 81 Fr Pr As= Pr A 81 12—- 81 L sind ebenfalls die Nenner gleich und es folgt Pi Fz— Pi Fi= 8I1 F=— 8i Fi= 81 S2........ 5) Bezeichnen wir auch hier die Strecke Si Sz als Achse mit 2a, so geht 5) über in Pi Fz— Pi Fi= 2a........ 6)

Satz: In jeder Hyperbel ist die Differenz der Brennstrahlen eines Punktes gleich der grofsen Achse........................ 59)

Tangenten am Kegelschnitt.

Berühren zwei von einem Punkte T gezogene Tangenten einen Kegelschnitt in A und B, so schneiden sich die ihnen verwandten Kreistangenten in dem dem Punkte T verwandten Punkte T; sie berühren den Kreis in den Bildern A und B der Punkte A und B.(Vergl. Fig. 30.)