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Satz: Die Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte, deren Abstands- verhältnis von einem gegebenen Punkte und einer gegebenen Geraden konstant und kleiner als 1 ist................ 55)

Satz Die Parabel ist der g. Ort für die Punkte, deren Entfernung von einem gegebenen Punkt gleich dem Abstand von einer gegebenen Geraden 1st..................... 56)

Sate Die Hyperbel ist der g. Ort für alle die Punkte, deren Abstands- verhältnis von einem gegebenen Punkte und einer gegebenen Geraden konstant und gröfser als 1 ist.................... 57)

Während der Satz 56 eine einfache Konstruktion der Parabel zuläßt, erweisen sich die Sätze 55 und 57 für die Konstruktion als zu umständlich. Wir wollen daher die Ellipse und die Hyperbel auf andre Weise als geometrische Orter darzustellen versuchen.

Zu dem Zwecke betrachten wir die Figuren 28 und 29. In beiden stellen Fi und Fe die Brennpunkte, li und le die zugehörigen Leitlinien des Kegelschnittes dar; M ist der Mittelpunkt der Kurve, d. h. der Schnittpunkt der beiden Kegelschnitt- achsen. Si und Sz sind die Schnittpunkte der Kurve mit der großen Achse(Scheitel der Kurve); Li und La sind die Schnittpunkte der großen Achse mit den Leitlinien.

Ist nun Pi ein Punkt des Kegelschnittes, 8o folgt aus der Symmetrie der Kurve zur Nebenachse, daß es einen Punkt Pe auf dem Kegelschnitte geben muß, derart, daß

Pa Fi= Pi Fe, Pæ Ai= Pr Az und L S2= Li S1; S1 Fz= S2 Fi.

Nach Satz 49 ist Pi Fi:Pi A= Pæ Fi: Pz A, oder, da P FI= Pi Fz und Pa A= Pr A⸗ ist, Pi FI: Pi Ai= Pi Fe: Pi As, oder Pi Fi: Pi Fz= Pi Ai.P Ae.......... 1)

Rückt der Punkt Pi auf Si, so rückt Ai auf Li und Az auf Le und die Pro- portion 1) geht über in

81 Fi: Si Fz= 81 Lil: Si Lz.............. 2)

Bilden wir nun aus 1) und 2) die Proportionen Pi FI 4 Pi Fz: Pi-A+ Pi Az2=— Pi Fi 1Pi AI und S1 Fr+ 81 Fg: S1 Li+ 81 L2= 81 Fi: S1 Li,

so folgt, da Pi Fi: Pi A1= S1 EI: S1 Li ist,

Pi Fi 4+ P Fz=: Pi AI+ P' As= 81 Fi+ S1 Fz: S1 L1* 81 L