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Beziehung zwischen Leitlinie und zugehörigem Brennpunkt.

In Fig. 27 stellen A und B zwei Punkte eines Kegelschnittes auf einer durch das Kollineationszentrum(Brennpunkt) Z gehenden Geraden dar; die Mittellinie m ist also zugleich die zu Z gehörige Leitlinie. Fällt man von A und B die Lote AD und BE auf die Mittellinie, so ist CADOCBE und daher BE:AD= CB:AC.... 1) Nach Satz 49 ist auch BZ: BE=AZ:AD, oder BZ:AZ= BE:AD

und aus dieser Proportion folgt in Rücksicht auf 1) BZ:AZz= CB:CA.

Demnach trennen die Kegelschnittpunkte A, B die Punkte O, Z harmonisch; der Punkt C ist demnach ein Punkt der Polare von Z in Beziehung auf den Kegel- schnitt. Sind A und Ba beliebige andre Kegelschnittpunkte, die mit dem Zentrum Z auf demselben Träger liegen, und schneidet dieser die Mittellinie in Ci, so ist stets

B.Z: Ai7= CG B: Gi A:, d. h.

Satz: Jede Leitlinie ist die Polare ihres Brennpunktes...... 54)

Das Abstandsverhältnis a der Kegelschnittpunkte von Brennpunkt und Leitlinie.

Der Satz 49 definiert den Kegelschnitt als Ort aller Punkte, deren Abstandsver- hältnis Q von dem Brennpunkt und seiner Leitlinie konstant ist. Je nach dem Werte von u wird die Kurve zur Ellipse, Parabel oder Hyperbel. In welcher Weise die Kegelschnitt form von dem Werte von g abhängt, zeigt sich am klarsten, indem man u für den Punkt B(Fig. 26) bestimmt; denn für ihn liegen die beiden Strecken, welche das Verbältnis a liefern, auf einem Träger. Bezeichnet man den Abstand 2S des Zentrums von der Mittellinie mit a, so folgt

1. für die Ellipse: „= 1, denn ZB Za, da der der Ellipse verwandte Kreis mit der Mittellinie keinen Punkt gemeinsam hat; 2. für die Parabel: „= 1, denn ZB= a, da der verwandte Kreis die Mittellinie berührt;

3. für die Hyperbel: „ D 1, denn ZB ₰ a, da der verwandte Kreis die Mittellinie schneidet.

Diie Kegelschnittformen stellen sich daher in folgender Weise als geometrische Orter dar: