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hängt, da für alle Punkte der Ebene der Abstand des Zontrumms von der Witte inie derselbe ist. Bezeichnen wir den Wert des Abstandsverhältnisses A2: AB 3 leß mit a und den konstanten Abstand des Zentrums von der Mittellinie mit a, so folgt,

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ZA irck 1 ückt; sich sein daß a= 85 umsogrößer wird, je weiter A vom Zentrum abrückt; daß

d.

Wert verringert, sobald A nach Z hin wandert. Der Wert von u aber bleibt konstant für alle Punkte, welche gleich weit vom Zentrum entfernt sind, also für alle Puukte ein und desselben Kreises, dessen Mittelpunkt das Zentrum der Verwandtschaßt ist. Da nun jeder Kreis sich als ein Kegelschnitt abbildet und umgekehrt sich für jeden Kegel- schnitt ein Kreis bestimmen läßt, der ihm harmonisch verwandt ist, so folgt der

Satz: In jedem Kegelschnitte ist das Abstandsverhältnis aller Punkte vom Zentrum und der Mittellinie der Verwandtschaft konstant(und zwar gleich dem Verhältnis des Abstandes eines Kreispunktes vom Zentrum zu dem Abstand des Zentrums von der Achse.)........ 49)

Zu beachten ist hierbei stets, daß der Mittelpunkt des dem Kegelschnitte ver- wandten Kreises mit dem Zentrum der Verwandtschaft zusammenfällt.

Konstruktion der Kegelschnittformen als harmonische Kurven des Kreises.

A. Der Kreis als sein eigenes Bild.

Satz: In Beziehung auf Pol und Polare eines Kreises als Zentrum und Achse ist der Kreis sein eigenes Bild...... 50)

Ist die Achse a zugleich die Polare des Zentrums Z, so wird auf jeder durch 2, gehenden Geraden g ein harmonischer Wurf C, Z; A, A erzeugt, wobei C den Schnitt- punkt der Geraden g mit der Achse darstellt und A und A die Schnittpunkte mit dem Kreise bedeuten. Demnach sind A und A verwandt und jeder Punkt ist das Bild des andren. Da das für alle durch Z gehenden Geraden gilt, so folgt, daß der Kreis sich in sich selbst abbildet.

B. Die Ellipse, die Parabel und die Hyperbel als Kreisbilder in einer harmonischen Verwandtschaft.

Das Bild eines Kreises wird zur Ellipse, wenn der Kreis mit der Mittellinie der Verwandtschaft(der Fluchtgeraden) keinen Punkt gemeinsam hat(Fig. 26, a); es wird zur Parabel, wenn der Kreis die Mittellinie berührt(Fig. 26, b), und zur Hyperbel, wenn er die Mittellinie schneidet(Fig. 26, c).

Bezeichnet man die Endpunkte des zur Mittellinie parallelen Kreisdurchmessers mit A und A, so folgt aus Satz 47, daß A und A harmonisch verwandte Punkte sind. Das Bild des Kreises geht demnach in jedem Falle durch diese Punkte.

Die Endpunkte des zur Mittellinie senkrechten Kreisdurchmessers bilden sich auf dem Träger dieses Durchmessers ab. Um das Bild der Mittellinie abgewendeten Punktes B zu erhalten, verbinde man einen beliebigen Punkt X der Achse mit B