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Satz: Fällt man von zwei harmonisch verwandten Punkten die Lote auf die Achse und verbindet die Fufspunkte mit den verwandten Punkten, so schneiden sich die Verbindungslinien im Schnittpunkte der Mittel- linie mit dem vom Zentrum auf die Achse gefällten Lote 46)

Sind(vergl. Fig. 24) A und A zwei harmonisch verwandte Punkte und ist ANIZFIAM.La, so verbinde man zunächst A mit N und bezeichne den Schnitt- punkt von AN und ZF mit G. Zieht man dann auch G A, so ist GC, GZ; GA, GA ein harmonisches Büschel, da C, Z; A, A harmonisch. Die durch die Punkte C, Z; A, A gezogenen Parallelen ANIZFIAMIC“C erzeugen auf a den harmonischen Wurf C, F; M, N der zugleich auf dem Büschel GC, GP; GM, GX liegt; daraus folgt, daß auch dieses Büschel harmonisch ist. Beide Büschel GC, GF; GM, GN und GC, GZ; GA, GA stimmen in drei Strahlen(GC, GA,, GZ) überein; also fallen auch die Strahlen GA und GM in eine Gerade, und AM geht durch G.

Um zu zeigen, daß G zugleich auf der Mittellinie liegt, ist nachzuweisen, daß zG= GPF ist. In dem Vierseit CAAMN, dessen sechste Ecke Sa im Unendlichen liegt,(da MAINA,) sind AN und AM Diagonalen, deren Schnittpunkt G dem un- endlich fernen Schnittpunkt So von AM und AN harmonisch zugeordnet ist. Es folgt, daher ZG= GF.

Das Bild A eines Punktes A wird danach gefunden, indem man von A das Lot auf die Achse a fällt, den Fußpunkt M mit G verbindet und den Schnittpunkt der Verbindungslinie mit dem Sehstrahl AZ bestimmt.

Satz Zieht man durch das Zentrum einer harmonischen Verwandtschaft die Parallele zur Mittellinie, so bildet sich jeder Punkt der Parallelen auf der Parallelen ab und zwar sind die Entfernungen des Bild- punktes und Punktoriginales von dem Zentrum gleich 47)

Der erste Teil dieses Satzes leuchtet ohne weiteres ein. Sind A und A zwei verwandte Punkte, so ist A, A; Z,Cœ ein harmonischer Wurf

und daher ist AZ= ZA.

Satz: In jeder harmonischen Verwandtschaft verhalten sich die Abstände jedes Punktbildes von Zentrum und Mittellinie, wie die Abstände des Zentrums von dem abgebildeten Punkte und der Mittellinie.. 48)

In Fig. 25 ist das Bild A des Punktes A gefunden worden, indem man AG zog und in dem entstehenden Punkt N das Lot NA errichtete. Zieht man ZE.LZPF, so ist, da ZG= GF=BN ist, ZGNB ein Parallelogramm und daher A G' ZB. Da ferner ZGIAB und A2ZA eine Gerade ist, wird A2 BZAG und daher folgt

AZ: AB= ZA:ZG.

Dieser Satz erhält für die Abbildung eines Kreises eine hohe Bedeutung. Er zeigt, daß das Abstandsverhältnis eines Bildpunktes vom Zentrum und von der Mittellinie lediglich von der Entfernung des abgebildeten Punktes vom Zentrum ab-

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