II. Kegelschnitt und Kreis in harmonischer Verwandtschaft.
Es hat sich soeben ergeben, daß für jeden Kegelschnitt unendlich viel Kolli- neationen von der Art hergestellt werden können, daß das Bild des Kegelschnittes ein Kreis ist. Da die Eigenschaften des Kreises von der Wahl der Verwandtschaft unberührt bleiben, so beschränken wir unsre weiteren Untersuchungen auf einen speziellen Fall ſder Kollineation, der eine möglichst bequeme Erörterung der Eigen- schaften eines Kegelschnittes gestattet.
Wir zeigen zunächst, daß verwandte Punkte durch besondere und für die Beweis- führung leicht verwertbare Beziehungen verknüpft werden, sobald man das Zentrum in einem Abstande von der Fluchtgeraden wählt, der dem Abstande dieser Geraden von der Kollineationsachse gleich ist, oder, was dasselbe ist, wenn man die Flucht- gerade mit der Mittelparallele zwischen der Kollineationsachse und dem Kollineations- zentrum zusammenfallen läßt. Ist in Fig. 23 Z M FLf(fl'a), so setzen wir nun ferner voraus, daß. ZM= M ist. Das Bild A des Punktes A sei auf dem bekannten Wege gefunden.(CA ZB). Statt nun den Punkt B auf der Fluchtgeraden beliebig zu wählen, kann man Z mit dem Schnittpunkt B von AF mit der Fluchtgeraden verbinden, und hatssodann FAZB’ zu ziehen. Dann ist ZMB’ÖÆᷣ FMB“(MZ= MF nach Vor., MB= MB und ZMB= FMB= 1 R) und daher AFZ= B'2ZF; ferner ist B”ZF= ZFA, da FAIZB“. Es folgt also AFZ= AFZ. Da ferner ZFN ein Rechter ist, so ist das Strahlenbüschel FA, FA; FZ, FN harmonisch und der Wurf A, A; Z, N ein harmonischer WMurf.
Es ergibt sich also der Satz: Ist in einer kollinearen Verwandtschaft die Fluchtgerade zugleich
Mittelparallele zwischen Achse und Zentrum, so trennen diese(Achse und Zentrum) jedes Paar verwandter Punkte harmonisch.... 45)
Erklärung:
Eine Verwandtschaft, in der die Fluchtgerade die Mittelparallele zwischen Achse und Zentrum darstellt, heißt eine harmonische Verwandtschaft. Die Fluchtgerade erhält die Bezeichnung„Nittellinie der Verwandtschaft“; wir bezeichnen sie daher fürder- hin mit m.
Um die Konstruktion der Punktbilder aus den Punktoriginalen noch bequemer zu gestalten, beweisen wir folgenden