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Es ist soeben gezeigt worden, daß sich stets zwei konjugierte Punkte auf der Fluchtgeraden finden lassen von der Eigenschaft, daß der Kreis über ihrer Entfernung als Durchmesser durch das Kollineationszentrum geht.(Vergl. die Figuren 19— 21!) Fällt nun das letztere(Z) auf den Träger P'X des zur Fluchtgeraden senkrechten Kreisdurchmessers, so wird der Hilfskreis NZxM(oder PeZ M) zu einer Geraden, nämlich zu P“X, und er verbindet dann den Punkt P' mit dem ihm konjugierten Punkt, das ist der unendlich ferne Punkt der Fluchtgeraden. Bildet man daher einen Kreis aus einem Punkte seines zur Fluchtgeraden senkrechten Durchmessers oder dessen Trägers ab, so wird das Bild des senkrechten Durchmessers selbst zu einer der beiden Kegel- schnittachsen, während die andre sich als Bild der Kreissehne ergibt, die durch den Pol der Fluchtgeraden zu dieser parallel gezogen ist.

Dabei ist für die Ellipse als Kreisbild der Fall von besonderem Interesse, in dem das Kollineationszentrum mit dem Schnittpunkte S(vergl. Fig. 20) aller Kreise, deren Durch- messer die Entfernungen je eines Punktpaares der Involution A, B; A“, B“; A“, B“;... bilden, zusammenfällt. Denn in diesem Falle steht, wie man leicht sieht, jedes Paar konjugierter Polaren des Kreises in Bezug auf die Punkte der Fluchtgeraden und damit zugleich jedes Paar konjugierter Durchmesser der Ellipse auf einander senk- recht. Das ist aber nur dann möglich, wenn das Bild des Kreises selbst ein Kreis ist.

Der Kreis stellt sich demnach selbst als ein Kegelschnitt dar. Rückt das Zentrum Z von S aus von der Fluchtgeraden ab, so ist in dem Kreisbilde die Achse auf dem Träger des zur Kollineationsachse senkrechten Kreisdurchmessers gröbßer als die ihr konjugierte; sie wird kleiner als diese, wenn sich Z von S aus der Flucht- geraden nähert.

Aufgaben:

Gegeben seien die Kollineationsachse sowie die Fluchtgerade(alf) und ein Kreis. 1. Den Kreis für die drei Fälle abzubilden, daß derselbe mit der Fluchtgeraden a) keinen, b) einen Punkt gemeinsam hat; c) daß derselbe die Fluchtgerade schneidet. Unterfall I: Das Kollineationszentrum liege nicht auf dem zur Flucht- geraden senkrechten Kreisdurchmesser(oder seinem Träger). Unterfall II: Das Kollineationszentrum ist ein Punkt des Trägers des zur Fluchtgeraden senkrechten Kreisdurchmessers. 2. In al, bl, cl der vorigen Aufgabe die Achsen des Kegelschnittes zu bestimmen.

3. Den Kreis in all als Kreis abzubilden.

4. Von einem Kegelschnitte sind fünf Punkte bekannt. Eine Kollineation herzustellen, so daſfs dem Kegelschnitte ein Kreis verwandt ist, der mit dem Kegelschnitt zwei Punkte gemeinsam hat.(Vgl. Fig. 22.)

Lösung 1 der Aufgabe. Es seien die Punkte 1, 2, 3, 4, 5 eines Kegel- schnittes gegeben. Man ziehe einen beliebigen Kreis M, der durch zwei der gegebenen