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Z mit N und M, so ist NZ½M= 1R und daher schneiden sich auch die Bilder der aus N und M gezogenen konjugierten Strahlen des Kreises unter einem Rechten. Es folgt daher: Jede Ellipse besitzt ein und nur ein Paar konjugierter Durchmesser, welche auf einander senkrecht stehen.

C. Die auf einander senkrechten Durchmesser der Hyperbel.

Bei dem einer Hyperbel verwandten Kreise(Fig. 21) bilden alle Paare konjugierter Punkte auf der Fluchtgeraden eine hyperbolische Involution PA. P'B= P-A’. P-B- =...= konst.(Dabei liegen jedoch je zwei konjugierte Punkte auf derselben Seite von P“.) Da infolgedessen für alle Kreise die Produkte aus den aus P“ gezogenen Sekanten auf der Fluchtgeraden und ihren äußeren Abschnitte konstant sind, sind auch alle von P' an die Kreise gezogenen Tangenten gleich; das Lot P“X stellt dem- nach die gemeinsame Potenalinie aller Kreise der möglichen Schar dar. Nimmt man an, daß einer dieser Kreise zugleich durch das Kollineationszentrum gehe, und zieht man den Strahl P'Z, der den Kreis durch Z im Punkte D zum zweiten Male schneide, so ist PA. P“B= P-N. P⸗M= PD. P-Z oder P-A. P/B= P-D. P-Z oder auch P-A: P“Z = PeD:P-B... 1).

Ist daher ein Paar konjugierter Punkte A, B gegeben, so ergibt sich die Strecke P'D als vierte geometrische Proportionale der Stücke PA, P'Z, P'B nach Maßgabe der Proportion 1). Da eine vierte Proportionale zwischen 3 Strecken immer möglich ist, da sich aber auch nur eine solche Strecke ergeben kann, so ist der Punkt D und damit der Kreis NZM eindeutig bestimmt.

Zur Konstruktion mache P'Z= P.Z, ziehe einen beliebigen Strahl P“V durch P'und mache darauf PC= P“B. Ziehe sodann AD= lI 2Z'C, so ist P-D“ der gesuchte zweite Abschnitt P“D der Sekante P“Z. Der Schnittpunkt des Mittellotes von DZ. mit der Fluchtgeraden liefert den Mittelpunkt O des gesuchten Kreises. Es gilt daher auch für die Hyperbel:

Jede Hyperbel besitzt ein und nur ein Paar konjugierter Durch- messer, welche auf einander senkrecht stehen. Ein Paar derselben schneidet die Hyperbel in reellen, das andre in imaginären Punkten.

Erklärung:

Die beiden konjugierten Durchmesser, die auf einander senkrecht stehen, werden die Achsen des Kegelschnittes genannt. Danach lassen sich die soeben erhaltenen Sätze in den einen zusammenfassen:

Sutz: Jeder Kegelschnitt besitzt ein und nur ein Paar Achsen... 43)

Damit ist zugleich der Satz bewiesen: Satz: Jeder Kegelschnitt ist zu seinen Achsen symmetrisch....... 44)