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2. Wandert der Punkt A der Figur 18 auf der Fluchtgeraden nach P' hin, so rückt B von P"weg und beide Punkte fallen zusammen, sobald A auf den Kreis gelangt. Rückt A nach P“, so fällt B ins Unendliche; überschreitet A den Punkt P-*, so fällt B auf dieselbe Seite von P' wie A. Denkt man sich daher ein zweites Paar konjugierter Punkte A“ und B“, so folgt, daß jedes Paar beide Punkte des andren Punktpaares einschließt.(Es wird dabei die Fluchtgerade als im Unendlichen geschlossen angesehen, sodaß auch die beiden inneren Punkte die äusseren umfassen.)

Erklärung:

Schliesst ein Punktpaar einer Involution beide Punkte des andren Paares ein, so heißt die Involution hyperbolisch. Fallen, wie das im Falle der Fig. 19 geschieht, stets zwei Punkte zweier involutorischer Punktpaare zusammen, so nennt man die Involution parabolisch.(P-A“. P“P/= P-A'. P“P=...= O).

A. Die auf einander senkrechten Durchmesser der Parabel.

Die Bilder aller konjugierter Durchmesser einer Parabel schneiden die Flucht- gerade unter einer parabolischen Involution(Fig. 19); es müssen daher alle Halbkreise, die über einem Paar konjugierter Punkte in Beziehung auf den verwandten Kreis konstruiert werden können, durch den Punkt P“ gehen. Von dieser unendlich großen Schar von Halbkreisen geht stets einer und nur einer durch das gegebene Kollineations- zentrum; sein Mittelpunkt O wird gefunden, indem man den Schnittpunkt des Mittel- lotes von P“Z mit der Fluchtgeraden bestimmt. Da P.ZM= 1 R, so ergibt sich der

Sate Jede Parabel besitzt ein und nur ein Paar konjugierter Durchmesser, welche auf einander senkrecht stehen; der eine von ihnen liegt im Unendlichen.(Bild der Fluchtgeraden.)

B. Die auf einander senkrechten Durchmesser der Ellipse.

Bei dem einer Ellipse verwandten Kreise(Fig. 20) bilden alle Paare konjugierter Punkte auf der Fluchtgeraden eine elliptische Involution

P-A.P-B= P-A“. P-B= PA“. P-B== konst.

Bezeichnet man das konstante Produkt der Involution mit s?, so stellt s die Strecke P“S dar, denn es ist P“B: P“S= P'S“:P-A oder P'B. PA= P-S. P-S== s,, da PeS=P-S. Da das Produkt für alle konjugierten Punktpaare gilt, so folgt, daß alle über der Ent- fernung zweier konjugierter Punkte AG, B) als Durchmesser beschriebenen Kreise durch den Punkt S gehen müssen. Von der unendlich grossen Schar dieser Kreise aber geht stets einer und nur einer durch das Kollineationszentrum Z; sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt des Mittellotes von SZ mit der Fluchtgerade. Verbindet man nun