AZB ein Rechter sein. Danach ist die Symmetrie des Kegelschnittes dargetan, sobald bewiesen ist, daß es auf der Fluchtgeraden stets zwei konjugierte Punkte A und B in Beziehung auf den dem Kegelschnitt verwandten Kreis gibt von der Art, daß der Kreis über AB als Durchmesser durch das Zentum Z geht(— da dann A AZB= 1 R).

ffilfssat⸗: Das Produkt der Entfernungen zweier konjugierter Punkte auf der Fluchtgeraden von dem Fufspunkte des zur Fluchtgeraden senk- rechten Durchmessers ist konstant 42)

Zum Beweise betrachte man die Figuren 17 und 18. Sind A und B zwei kon- jugierte Punkte, und sind P die Polare der Fluchtgeraden und P“ der Fußpunkt des Lotes OP“Lf, wobei O den Mittelpunkt des Kreises bezeichnet, so ist

APPBSPAO, als Dreiecke, deren Seiten paarweise auf einander senkrecht stehen, und daher

PeB:PP= P=O; AP⸗, oder P-B. AP=PP-.P-O.

Das Produkt PP“. P“O ist aber von der Wahl des Punktes A(und daher auch von der Lage von B) unabhängig; also ist PB. P-A= konst.

Dieser Satz ist für den dritten Fall, in dem der Kreis die Fluchtgerade berührt, von vornherein evident. Denn es ist bekannt, daß in diesem Falle jedem Punkt

der Fluchtgeraden der Berührungspunkt konjugiert ist. Damit folgt P“B= O und

also auch PB. P-A= 0. Erklärung:(vgl. Fig. 20 und 21).

Liegen(zwei oder) mehrere Punktepaare A, B; A“, B' auf demselben Träger so, daß das Produkt der Entfernungen der Punkte jedes Paares von einem festen Punkte P“ konstant ist(P-A. P-B= P'-A”. P’Bo), so sagt man der Punktwurf A, B; A“, B' bilde eine Involution.

Es ist bereits gezeigt worden, daß für den Fall der Fig. 17, jedes Paar kon- jugierter Punkte durch P“ getrennt wird, und daß im Falle der Fig. 18 beide konjugierte Punkte stets auf derselben Seite von P- liegen.

1. Wandert nun der Punkt A der Fig. 17 auf f nach P“ hin, so entfernt sich der konjugierte Punkt von P“, entfernt sich aber A von P“ so rückt B nach P' hin. Jedes zweite Paar konjugierter Punkte in der Fig. 17 wird daher von den Punkten A und B immer getrennt.

Erklärung: Werden zwei konjugierte Punkte A, B von zwei andren A“, B’' getrennt, so sagt man, sie bilden einen elliptischen WurfV; ist zugleich das Produkt der

Entfernungen jedes Punktpaares von einem festen Punkte P“ konstant, so wird der Wurf eine elliptische Involution genannt.

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