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Dieser Satz läßt für die Parabel eine besondere Folgerung zu. Da dort der Punkt T des harmonischen Wurfes A, S; R, T ins Unendliche rückt, wird stets AR=RS, d. h.

Satz: Zieht man von einem Punkte A die Tangenten an eine Parabel, so halbiert die Parabel die Strecke des Durchmessers zwischen dem Ausgangspunkt der Tangenten und der Polare des Ausgangs- punktes................................. 41)

Aufgaben.

Die Aufgaben sind unter Anwendung des Lineales allein zu lösen.

1. Zu einem Punkte außerhalb eines Kegelschnittes die Polare zu zeichnen.

2. Von einem Punkte außerhalb eines Kegelschnittes die Tangenten an denselben

zu ziehen.

Zu einem Punkte innerhalb eines Kegelschnittes die Polare zu zeichnen.

Von einem Kegelschnitte ist der Mittelpunkt unbekannt. Denselben zu suchen.

5. In einem Kegelschnitte ist ein Durchmesser gegeben. Den konjugierten Durch- messer zu suchen.

6. In einem Kegelschnittpunkte die Tangente zu zeichnen.

7. An einen Kegelschnitt eine Tangente von gegebener Richtung zu zeichnen.

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III. Der Kegelschnitt als symmetrische Figur.

Vorbemerkung:

Wenn der Kegelschnitt symmetrisch sein soll, dann ist es notwendig, daß die Symmetrale den Mittelpunkt des Kegelschnittes enthält, da für diesen Punkt ein entsprechender Punkt nicht vorhanden ist. Demnach muß die Symmetrale Träger eines Durchmessers sein. Da nun jeder Durchmesser alle zu seinem konjugierten Durchmesser parallele Sehnen— und nur diese— halbiert, so kann der Nachweis der Symmetrie erbracht werden, indem man zeigt, daß unter den unendlich vielen Paaren von konjugierten Durchmessern ein solches sich befindet, dessen einer auf dem andren senkrecht steht. Gelingt es, diesen Nachweis zu erbringen, dann folgt aus der zentrischen Eigenschaft des Kegelschnittes, daß die Kurve zu beiden— auf einander senkrechten— konjugierten Durchmessern symmetrisch ist.

Nach dem Vorausgegangenen sind die Bilder zweier konjugierter Kegelschnitt- durchmesser zwei konjugierte Geraden in Beziehung auf den dem Kegelschnitte ver- wandten Kreis, und zwar müssen dabei die Schnittpunkte A, B dieser konjugierten Geraden mit der Fluchtgeraden in Beziehung auf den Kreis selbst konjugiert sein (Fig. 17 und 18). Verbindet man nun A und B mit dem Kollineationszentrum Z, so bilden nach Satz 10 diese Verbindungslinien denselben Winkel mit einander, wie die konjugierten Kegelschnittdurchmesser, deren Bilder durch die Punkte A und B gehen. Da die konjugierten Durchmesser auf einander senkrecht stehen sollen, muß. demnach

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