Lage des Mittelpunktes in den einzelnen Kegelschnittformen. Die Asymptoten der Hyperbel.

Vergl. mit Fig. 14 die Figuren 11— 13.

1. Bei dem einer Ellipse verwandten Kreise liegt der Pol P der Fluchtgeraden innerhalb des Kreises(Fig. 14, a); es liegt also auch der Mittelpunkt der Ellipse im Inneren der Kurve.

Da alle durch P gehenden Geraden den Kreis in zwei Punkten schneiden, von denen keiner auf der Fluchtgeraden liegen kann, so folgt der

Satz: Alle durch den Mittelpunkt einer Ellipse gehenden Geraden schneiden die Ellipse in zwei im Endlichen liegenden Punkten........ 27)

2. Bei dem einer Parabel verwandten Kreise liegt der Pol P der Fluchtgeraden auf dieser selbst; also liegt der Mittelpunkt der Parabel im Unendlichen. Alle Durchmesser der Parabel können sich daher auch erst im Unendlichen schneiden;

also folgt der

Satz: Alle Durchmesser einer Parabel sind parallel............ 28) Da zwar jede durch P gezogene Kreissekante den Kreis(Fig. 14, b) in

zwei Punkten schneidet, P aber selbst einer der Schnittpunkte ist, so folgt, da

sich P im Unendlichen abbildet, der

Satz: Jeder Durchmesser einer Parabel hat mit der Parabel im Endlichen nur einen Punkt gemeinsam................ 29)

3. Bei dem einer Hyperbel verwandten Kreise(Fig. 14, c) liegt der Pol der Flucht- geraden außerhalb des Kreises. Der Mittelpunkt der Hyperbel liegt daher zwischen

den Kurvenästen.(Vergl. auch Fig. 13.)

Die von P an den Kreis(ig. 14, c) gezogenen Tangenten bilden sich als Hyperbel- tangenten ab, die durch den Mittelpunkt gehen und, da die Berührungspunkte des Kreises auf der Pluchtgeraden liegen, die Hyperbel in ihren beiden unendlich fernen Punkten berühren. Da diese Mittelpu nktstangenten sich der Hyperbel, je weiter hinaus, um so mehr, nähern, ohne dieselben jedoch im Endlichen zu erreichen, hat man sie als Asymptoten bezeichnet.

Die Asymptoten teilen die Ebene in zwei Paare von Scheitelfeldern, deren eines die Hyperbeläste enthält. Man bezeichnet diese Felder als innere, und die andren als äußere Hyperbelfelder. Wie die Kreistangenten aus P die Schar der Sekanten von den Geraden durch P trennen, die mit dem Kreise keinen Punkt gemeinsam haben, so trennen die Asymptoten die Schar der durch P gehenden Geraden, welche die Hyperbel schneiden von der Schar deren, die keine reellen Punkte mit der Kurve ge- meinsam haben. Letztere liegen sämtlich in den äußeren Hyperbelfeldern. Für die