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II. Sätze über Pol und Polare.(Vgl. die Sätze 15 und 16 und die Aufgabe 11 auf Seite 10.)

Die Berührungssehne zweier von demselben Punkte ausgehender Tan-

genten ist die Polare des Ausgangspunktes der Tangenten. 20)

Jede von einem Punkte durch einen Kegelschnitt gezogene Sekante wird durch den Kegelschnitt und die Polare des Ausgangspunktes harmonisch geteiltt... 21)

Zum Beweise vergl. Satz 11.

Die Pole eines Strahlenbüschels bilden eine Punktreihe, deren Träger

die Polare des Scheitels des Strahlenbüschels ist..... 22) Die Polaren der Punkte einer Punktreihe bilden ein Strahlenbüschel, dessen Scheitel der Pol des Trägers der Punktreihe ist... 23) Der Pol einer Tangente ist der Berührungspunkt.. 24)

Folgerungen aus den Sätzen über Pol und Polare.

I. Der Kegelschnitt ist eine zentrische ¹) Figur........... 25)

In Figur 14 sind drei Kreise gezogen, deren Abbildungen die drei Kegelschnitt- formen darstellen, und zwar liefert der Kreis in a) eine Ellipse, in b) eine Parabel und in c) eine Hyperbel. Der Pol der Fluchtgeraden liegt demnach in a) innerhalb, in c) auber- halb des Kreises; in b) liegt er auf dem Kreis.

Zieht man durch P eine beliebige, den Kreis in R und S schneidende Gerade, die die Fluchtgerade f im Punkte Q treffen mõge, so bildet sich dieselbe als eine Sekante des Kegelschnittes ab. Nun ist Q, P; R, S ein harmonischer Wurf und dessen Bild Qa, P; R, S demnach ebenfalls harmonisch. Da der Punkt Qaœ im Unend- lichen liegt, halbiert der ihm zugeordnete Punkt P die Strecke zwischen R und S,

oder es ist RP= PS.

Da das nicht allein für die Sekante QP, sondern für jede durch den Pol P der Fluchtgerade gehende Sekante gilt, so folgt, daß das Bild des Poles P alle durch P hindurchgehenden Kegelschnittsehnen halbiert. Man bezeichnet daher den Punkt P als den Mittelpunkt des Kegelschnittes und alle Mittelpunktsehnen als Durch- messer.

Der Kegelschnitt ist daher zentrisch, mit dem Mittelpunkte als Zentrum.

Es wird zugleich der Satz erhalten:

Sate: Das Bild des Poles der Fluchtgeraden in Beziehung auf den abgebildeten

Kreis ist der Mittelpunkt des verwandten Kegelschnittes. 26)

¹) Die Erklärung der zentrischen Symmetrie findet man in des Verfassers Hilfsbuch, Seite 51.