Kollineation und harmonische Verwandtschaft des Kegelschnittes und des Kreises.

I. Die kollineare Abbildung.

Die stereographische Abbildung setzt voraus, daß die Ebenen Ee und E“ parallel sind; die Ebene E ist gegen Eoll E' beliebig geneigt. Klappt man nun die Ebene E um die Achse a nach vorn oder hinten um, bis sie mit der Ebene E“ zusammenfällt so fällt auch die Ebene Ee in die Ebene E-. Bei diesem Zusammenklappen des Ebenen- systemes in eine einzige Ebene bleiben sämtliche in E, E“ und Ee gezogenen Kon- struktionslinien unverändert; die Sehstrahlen aber fallen in die gemeinsame Ebene und verbinden auch jetzt noch die verwandten Punkte, deren Träger sie vorher waren.

Die stereographische Projektion führt demnach auf eine in der Darstellung weit bequemere Art der Abbildung einer ebenen Figur, auf die Abbildung der Figur in ihrer eigenen Ebene.

Erklärungen:

Sind zwei Figuren ein und derselben Ebene verwandt, so nennt man sie kollinear und das Verwandtschaftsverhältnis Kolline ation. Das Projektionszentrum wird dann als Kollineationszentrum und die Projektionsachse als Kollineationsachse bezeichnet. Der Fluchtgeraden belassen wir zunächst ihren Namen.

Da nach dem soeben Gesagten die kollineare Abbildung als ein spezieller Fall der stereographischen angesehen werden darf, so leuchtet ein, daß alle Sätze, die für die stereographische Abbildung gefunden worden sind, auch für die kollineare volle Gültigkeit behalten. Für den Satz 1 fällt die Bedingung, daß das Projektionszentrum nicht in einer der Ebenen E oder E' liegen dürfe; er geht über in den

Satz: In jeder Kollineation ist jedem Punkt der Ebene ein ganz bestimmter

Punkt derselben Ebene verwandt.

Aufgaben. Gegeben seien Kollineationsachse und Fluchtgerade(allif), sowie das Kollineations- zentrum. 1. Einen gegebenen Punkt X abzubilden.(Siehe Fig. 10.)

Lösung: Lege eine beliebige Gerade durch A, die f und a in X und X“ schneidet, und ziehe X'X“XZ. Der Schnittpunkt von X'X“ mit ZA ist das gesuchte Bild A.

Löse die Aufgabe auch für den Fall, daß A über der Fluchtgeraden oder unter der Achse liegt.

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