Einführung. Die stereographische Projektion.

A. Herleitung der notwendigsten Sätze.

Erklärungen 1(vergleiche Figur 1):

Einen in einer Ebene E gelegenen Punkt A von einem gegebenen Punkt Z aus in eine zweite Ebene E projicieren, heißt den Schnittpunkt des Strahles ZA mit der Ebene E’ bestimmen. Denkt man sich die Ebenen E und E" als durchsichtige Scheiben und das Auge des Beobachters in Z, so ist die Projektion von A auf die Ebene E' der Punkt(A) dieser Ebene, der von dem zu projicierenden Punkt A über- deckt wird.

Der Strahl ZA wird deshalb der Sehstrahl des Punktes A, und der Punkt A das Bild von A genannt.

Den Punkt Z, von dem aus projiciert wird, bezeichnet man als Projektions- zentrum, die Schnittgerade a der Ebenen E und E’ als Projektionsachse.

Setzt man voraus, daß die gegenseitige Lage der beiden Ebenen E und E' und das Projektionszentrum unveränderlich sind und daß das Projektionszentrum in keiner von den beiden Ebenen E und E' liegt, so folgt, da eine Ebene mit einer schneidenden Geraden einen und nur einen Punkt gemeinsam hat, der

Satz: Jedem Punkt der Ebene E entspricht ein und nur ein Punkt der

Ebene E=,.................................. 1)

Erklärungen 2: Der projicierte Punkt und sein Bild werden verwandte Punkte genannt.— Da nach Satz 1) jedem Punkte in der Ebene E ein ganz bestimmter Punkt der Ebene E“ verwandt ist, so ist auch jedem Punktsystem der Ebene E ein ganz bestimmtes Punkt- system der Ebene E“ verwandt. Die Beziehungen beider Punktsysteme zu einander faßt man unter der Bezeichnung Verwandtschaft zusammen.

Aus den Erklärungen 1) und 2) ergiebt sich ohne weiteres der Satz: Verwandte Punkte liegen mit dem Projektionszentrum auf einem Träger.................................... 2)