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zeichnen das Produkt mit s, das sei die zweite Zahl, und wir ,1. behaupten: h † L.s ist gleich s+ 1 h. Beweis: a von s ist
gleich d, weil a mit d multipliziert wurde und s ergab, und 5 von h ist c, weil b mit c multipliziert wurde und h ergab, also ist h+2.s gleich c. b+ d. Aber c. b+ b ist gleich a. b, also ist a. b uml grösser, als c. b+ d, weil b um 1 grösser ist als d, also ist a. b um 1 grösser als h+2.s. Ferner ist s †. h
gleich d. a+c, aber d. a+a ist gleich a. b, also ist a. b um
1 grösser als s+ 8.h. Nun war aber a. b auch 1 grösser als
h ℳ1.s, also ist n„s gleich s 2. h, w. 2. b. w.
58. Aufgabe: Drei Zahlen der Art zu finden, dass die Summe der ersten und der dritten die zweite so oft als Faktor enthält, wie eine gegebene Zahl an- gibt, und dass die Summe der zweiten und dritten die erste so oft als Faktor enthält, wie eine gegebene zweite Zahl angibt. Die gegebenen Zahlen seien a und b. Wir bezeichnen die auf a folgende Zahl mit c, sie sei die erste Zahl. Die auf b folgende Zahl sei d, sie soll die zweite Zahl sein. Dann multiplizieren wir a mit b und ziehen von dem Produkt 1 ab, die Differenz bezeichnen wir mit s, sie soll die dritte Zahl sein. Wir behaupten dann, dass c, d und s die ge- suchten Zahlen sind. Wir wollten, dass(c+ s) den Faktor d- a mal, und(d+ s) den Faktor c b mal enthält. Beweis: s ist gleich a. b— 1 und c ist gleich 1+a, also ist(cs) gleich ab†a, aber ab†a ist gleich a. d, also ist(c s) gleich a. d und ent- hält deshalb den Faktor d a mal, da ferner s gleich a. b— 1 und d gleich b. 1 ist, ist(d- s) gleich a. b b, aber a. b†b ist gleich c. b, also ist(d+ s) gleich c. b. Das Produkt c. b ent- hält den Faktor c also b mal. Also enthält(c+ s) den Faktor d a mal und(d- s) den Faktor d a mal. W. Z. b. w.
59. Die Zahl, die sich aus den Quadraten gegebener Zahlen zusammensetzt, ist gleich dem Quadrat der aus den gegebenen gebildeten Zahl. Die gegebenen Zahlen seien a, b, c, die aus den Quadraten as², bꝰ, c zusammen- gesetzte Zahl sei d, die aus den Zahlen a, b, c, gebildete sei h. Behauptung d ist gleich he. Beweis: Weil jede Quadratzahl