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die Teile, deren Summe die grössere ist. a der gesuchten Zahl, 4 und h derselben, die Teile, deren Summe kleiner ist, 4 der Zahl
und 1 von ihr. Wir wollen nun eine Zahl finden der Art, dass die Summe der erstgenannten Teile, von derselben genommen, die kleinere Summe der Teile um m übertrifft. Das kleinste gemein- schaftliche Vielfache aller der Nenner der gegebenen Teile, näm- lich a, d, h, g. k, Sei l. 4 von l sei n. 1 von l sei v4 vonl sei v Die Summe der grösseren Teile, von l genommen, sei demnach (n†x+y). Es seien ferner S von l gleich b, 1 von l gleich z, demnach ist die kleinere Summe der Teile(P+ z). Die Difteren⸗- zwischen(n x+ y) und(p+ z) sei q. Wir bilden nun die Pro- bortion]: r=d: m und behaupten, dassr die gesuchte Zahl ist ²²).
. 77; b; C; 1 Beweis: Wir bezeichnen a Von r mit o, d von r mit v, h Von r mit w, demnach ist die Summe dieser Teile(O v w). Ferner
seien e von r gleich i, und 1 vonr sei j, demnach die Summe dieser Teile(i+. j). Nun ist es klar, dass sich 4 von 1 zu 1, wie 2 von l zu l verhält, da sie beide gleich dem Verhältnis von von a zu a sind. Daher ist es klar, dass das Verhältnis
von l zu b von r gleich dem Verhältnis l:r ist, indem
man die inneren Glieder vertauscht. Demnach ist n: o wie l: d und ebenso zeigt man, dass X: v wie l: T und dass y: w wie l: r ist. Addieren wir nun, so ergibt sich, dass die Summe(nx+ y) sich zu(o v w) wie lir verhält. Ebenso beweist man, dass (pPé+ ²) sich zu(i+ j) wie l:r verhält. Also verhält sich(n+X y) zu(o vw) wie(p+† ²):(i+ j). Vertauschen wir die inneren Glieder, so erhalten wir(n+.+‿ y):(p+ 2) wie(o vw):(i+ j). (n† x+y) ist aber grösser als(p+ z), also ist(Oo v w) grösser als(i† j). Sei die Differenz zwischen(oc f“ v) und(i+ j) gleich f. Da nun(n-Xy) sich zu(o v w) wie 1 zuer verhielt, und (Pfy+ ²) zu(i+j) sich auch wie l:r verhält, so bilden wir die Differenzen und erhalten q:f wie 1:r. Also ist das Verhältnis von d' zu m und zu f dasselbe, also ist m=f. Nan war die Differenz von(o v+ w) und(i+ j) gleich f, also ist die Differen⸗z
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