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Behauptung: m, n, sind die gesuchten Zahlen. Beweis: n ist gleich m† 2hl und x ist gleich m+ 2hl+ 2sg, also ist die Hälfte von(n+) gleich m+ 2hlsg. Aber m war gleich dem Produkt b. c, multipliziert mit d und vermehrt um die Summe (c+ h), also ist die Hälfte von(n+ x) gleich d.(b. c)+ 2hl sg +(c+† h). ²³) Nun enthält d.(b. c)+ 2hl sg+(h+ c) den Faktor a so oft, wie das Produkt t. l angibt, also ist a in(n+ x) so oft als Faktor enthalten, wie das doppelte Produkt t. l angibt. Be- zeichnen wir nun 2. t. l mit y, so ist y der ate Teil von(n+).

Es ist aber auch(m+† x) gleich 2m+ 2hl+ 28g, daher ist die Hälfte von(m+) gleich m† h. I+ s. g, aber m ist gleich so viel gleichen Teilen(b. c), wie d angibt, vermehrt um(c†h), also ist die Hälfte von(m+ x) gleich h. I s. g†+‿.(† h)+ d.(b. c). Nun enthält hl+sg+(c+ h) den Faktor b so viele Male, wie die auf die Differenz von c und a folgende Zahl, d. i. die auf(h+ s) folgende Zahl ²²), besagt. Wir nennen diese q. Es enthalten aber d gleiche Teile(b. c) den Faktor b so oft, wie das Produkt d. c angibt, weil d gleiche Teile des Produkts(b. c) eine aus d, b, c zusammengesetzte Zahl sind, also enthält die Hälfte von(m+ x) den Faktor b so oft, wie d. c+ besagt, also sieht man, dass b in(m+† x) so oft enthalten ist, wie das um 2 vermehrte doppelte Produkt d. c Einheiten hat. Setzen wir jetzt 2dc+ 2 gleich p, so ist p der bte Teil von(m+ x).

Ferner ist(m† n) gleich 2m+ 2 hl, also ist die Hälfte von (m† n) gleich m† h. l, aber m ist gleich d gleichen Teilen(b. c), vermehrt um(c†h), also ist die Hälfte von(m†n) gleich h. I+(c+† h)+ d(bc). Nun erhält h. 1+(c+h) den Faktor c²¹) so oft, wie die auf h folgende Zahl angibt, wir setzen diese gleich r. In d gleichen Teilen(bc) ist c so oft enthalten, wie das Produkt d. b besagt. Also ist c in der Hälfte von(m†n) so viele Male enthalten, wie das um r vermehrte Produkt d. b Ein- heiten hat, also ist c in(m+ n) als Faktor(2d b+ 2r) mal ent- halten. Wir bezeichnen 2db+ 2r mit z, dann ist z der cte Teil von(m+n).

Wir behaupten nun, dass(m+ y),(n+ p),(+ ²) einander gleich sind.

Beweis:(m-† y) ist gleich m+ 2tl und(n+p) ist gleich m-† 2hl+ 2dc+. 29. Lassen wir in den beiden Ausdrücken das ge-