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trennen wir von sg das Stück sz, das gleich b ist, ab, es bleibt 2zg gleich h. Ebenso seien tw, ly gleich b, und es bleibt jeder der Teile wk, ym gleich h. Dann teilen wir zg in Teile, die der Einheit gleich sind, die der Einheit gleichen Teile seien, zq, qg, ihre Anzahl ist gleich der der Einheiten von h. Ebenso teilen wir wk in Teile, die gleich der Einheit sind, diese seine Teile seien wr, rk, die Teile von ym, die der Einheit gleich sind, seien yo, om. Nun war die Anzahl der Zahlen sg, tk, bm gleich der der Einheiten von d, also ist auch die Anzahl der Teile 2, wr, yo gleich der der Einheiten von d. Addiert man nun 29, wr, vYo zu nx, so ergibt sich b, weil die Zahl der Einheiten zd, wr, yo, gleich den in d enthaltenen ist, und also die Einheiten zd, wr, yo, addiert, d ergeben, und nx gleich a ist, daher ergibt nx, zu den Einheiten 2-, wr, yo addiert,(a+ d),(a d) ist aber gleich b, also ist nx, vermehrt um die Einheiten zd—, wr, yo, gleich b. Ebenso beweist man, dass ep, zu den Einheiten dg, rk, om addiert, gleich b ist. Es war aber bereits gezeigt, dass die Anzahl der Zahlen nx, ep gleich der der Einheiten 29, dg ist, weil beide gleich h sind. Also ist die Gesamtzahl

der Zahlen nx, ep gleich den der Einheit gleichen zd, dg mit

n X Z — W r ————— k y 0

m e pP den zugehörigen Teilen. Also ist schon bewiesen, dass das Pro- dukt c. d, vermehrt um das Produkt a. h den Faktor b so viele

Male enthält, wie die Anzahl der Teile sg, tk, Im, nx, ep an- gibt, das ist aber gleich der Summe(c+ d), welche die Differenz zwischen c und a ist ¹⁷), w. z. b. w.

46. Wenn drei verschiedene Zahlen ge- gebensind, deren kleinste zwei ist, und man addiert zu dem doppelten Produkt der um 1 verminderten grössten Zahl in die Differenz zwischen der mittleren und der kleinsten die

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