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welches gleich he ist, vermehrt um das Produkt aus h in die Summe (a+ b- e+ d)+(a† b- c+† d)], welches gleich 2 h(a† b e † d) ist, also ist hz gleich he+ 2. h(a†b† e+d). Nun ist aber das Quadrat(a† b† e † d+ h) gleich h, vermehrt um das doppelte Produkt aus h und der Summe(a+† b† e+ d) und das Quadrat (a- b c † d), also ist hé vermehrt um das Quadrat(aꝗ b †e+.&)* gleich dem Quadrat(a† b † e †d+ h)², w. Z. b. w. Allerdings hat 1 keine Zahl vor sich, aber seine dritte Potenz ist dem Quadrat der Summe der natürlichen Reihe bis zu ihm gleich, denn es stellt selbst die Summe der Reihe bis zu ihm und deren Quadrat dar, und es selbst ist seine dritte Potenz, das ist sehr klar.
42. Das Quadrat der natürlichen Zahlen- reihe von 1 bis zu einer gegebenen Zahl ist gleich der Summe der dritten Protenzen der Zahlen von 1 bis zu der gegebenen. Die Summe sei (a† b e †. d+† h). Behauptung: Das Quadrat(a † b† e+ d- h)* ist gleich der Summe der dritten Potanzen von a, h, c, d, h. Beweis: Das Quadrat(a+ b+ d.+ b)’ ist gleich hs+‿ ſa†ᷣꝗ b e † d)’, aber das Quadrat(a† b- e+ d) ist gleich do+(a† b+ c), und dieses Quadrat ist gleich c†(a+ b). Und siehe,(a b)“ iste gleich b“† a?, a? ist aber selbst gleich as, also ist das Quadrat (a+ b e+ d+ h) gleich der Summe der dritten Potenzen der Zahlen, a, b, c, d, h, w. Z. b. w. 16)
43. Ist eine gegebene Zahl gleich der Summe einer gegebenen natürlichen Zahlen- folge, die mit 1 beginnt, und ist die gegebene Zahl die mittlere einer Zahlenreihe, d. h. das arithmetische Mittel zwischenl und der letz- ten, so ist die Summe der dritten Potenzen der gegebenen Reihe gleich der Summe der un- graden Zahlen der zweiten Zahlenreihe, 1 mit- gerechnet. Die Zahl f sei gleich der Summe(a † b†c), f sei die mittlere Zahl der Reihe a, b, c, d, h, f, s, g, t, i, k, die bei l beginnt. Behauptung: Die Summe der ungraden Zablen von a, b, c, d, h, f, s, g, t, i, k ist gleich der Summe as+ bs †s. Beweis: as+ bs†es ist gleich f und die Summe der ungraden Zahlen aus der Folge a, b, c, d, h, f, s, g, t, i, k ist auch gleich