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39. Zieht man eine gegebene Zahl von ihrem Quadrat ab, so ist die Hälfte des Restes gleich der Summe der Zahlen der natürlichen Reihe vonl bis zu der Zahl vor der gegebenen. f werde von fz abgezogen, die Zahl vor f sei h, die Hälfte der Differen⸗ zwischen feæ und f sei s. Behauptung: s ist gleich der Summe der Zahlen von 1 bis h. Beweis: Das Quadrat fe ist gleich der Summe(a† be+ d+h), vermehrt um(a † b†e+ d+† †t). Zieht man von der Summe f ab, so pleibt ein Rest, der gleich der Summe (a b†e †d+ h), vermehrt um die Summe(a† b e+ d+), ist, also ist die Hälfte des Restes gleich der Summe(a † be+ d+ h), w. 2. b. W.

40. Addiert man eine gegebene Zahl zu der Hälfte der Differenz zwischen ihrem Quadrat und ihr selbst, so ist das Resultat gleich der Summe der Zahlen der natürlichen Reihe vonl bis zu der gegebenen Zahl. f werde zu der halben Differenz zwischen fæ und f addiert. Behauptung: Das Resultat ist gleich der Summe(a†ᷣ b†e †d+† h†f). Beweis: fe ist gleich der Summe(a b†e †d+† h†t), vermehrt um(a b e+ d+† h). Subtrahiert man nun f und addiert f dann zu der halben Differenz, die gleich der Summe(a† b e † d+ h) ist, so ist das Resultat (a† b†e †d+ ht), das ist die natürliche Zahlenreihe von 1 bis f, W. 2. b. w.

41. Das Quadrat der Summe der patürlichen Zahlenreihe vonl bis zu einer gegebenen Zahl ist gleich der dritten Potenz der gegebenen Zahl, vermehrt um das Quadrat der Summe der Zahlen der natürlichen Reihe von l bis zu der Zahl vor der gegebenen. Die Summe der Reihe sei die Summe(a † b e+ d+† h). Behauptung: Das Quadrat der Summe (a† b e+ d+ h) ist gleich der dritten Potenz von h, vermehrt um die Summe(a† b c+† d). Das ist der Fall, weil he so oft den Faktor h enthält, wie h Einheiten hat, aber he ist gleich der Summe der Summen(a† b ce+ d) und(a† b e+ d+† h). Multipli- ziert man also h mit der Summe L(a᷑ be d-† h)-(a-† b † e+ d)), so erhält man he. Aber das Produkt aus h und der Summe

[a b e d+ h)+(a+† b- c+† d)] ist gleich dem Produkt h. h,