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also ist das Produktf.(a b e †d+† †t) gleich der dreifachen Summe (a= †.*+ h²), vermehrt um die Summe(a b†e † d+† h Pt). Nun ist f.(a† b e † d+ h- f) um(a† be+† d† h†f) grösser als h.(a-+† b e+ a+† h† f). Also ist h.(a † †e †d+† h+ t) gleich 3 (a2+*ᷣ+ h²), w. z. b. W. Aus diesem Beweise geht hervor, dass, wenn man den dritten Teil einer gegebenen Zahl mit der Summe der Zahlen der natürlichen Reihe von 1 bis zu der auf die ge- gebene folgenden Zahl multipliziert, das Resultat gleich der Summe der Quadrate der graden bezw. ungraden Zahlen bis zu der gege- benen ist, je nachdem diese grade oder ungrade ist ¹4). Denn wenn man diese gegebene Zahl mit dieser Summe multipliziert, so wäre das Resultat gleich der dreifachen Summe jener Quadrate, also ist das Produkt aus dem dritten Teil jener gegebenen Zahl in jene Summe gleich dem dritten Teil der dreifachen Summe der Quadrate der graden oder ungraden Zahlen, das ist aber gleich der Summe der Quadrate der Zahlen von der Art der gegebenen, die vor ihr verhanden sind, w. z. b. w.

38. Multipliziert man die Differenz zwischen einer gegebenen Zahl und dem dritten Teil der ihr vorangehenden mit der Summe der Zahlen der natürlichen Reihe von l bis zu der gege- benen Zahl, so ist das Resultat gleich der Summe der Quadrate aller Zahlen von 1 bis zu der gegebenen Zahl. Man multipliziert(— ⅛ h) mit der Summe(a† be † d+ h† f). Behauptung: Das Produkt ist gleich der Summe der Quadrate(a² †‿ b=+ c²+ de+ h²+ f⸗) ¹⁵). Beweis: Das Pro- dukt f.(a ᷑ b‿d h Pt) ist gleich der Summeſ(a† b† e † d+ ht) 6ed‿λ,ſß½˖ b+‿dͥ̃-†b†h+(d+† ᷣ †f+ h t) †t)),vermehrt um die Summe la+(a† b)+(a‿̈μ c)(a‿e μᷣ̃ †e+d)+(a+† b † e+ d +)]. Nun ist die Summe(a b†ed †‿e ☛³) †‿d+ h†fh †(ͥ †‿ †f)(d- h † f)(h †f)fl gleich der Summe (a* b+ c*+ dz-h⸗- f²) und die Summe ſa+(a+ b)+ a+ b † e)+† (a b e †.d) ‿ a‿ᷣ e d+ h)] gleich der Summe(az- c*²—+ h), also ist das Produkt f.(a† bc† d-†hf) gleich der Summe (az be dε.?+ f⸗), vermehrt um die Summe(a*+ c²+† h). Aber das Produkt ⅓ h.(a† b- c †d+ h† f) war gleich der Summe (a?² c* † h²), also bleibt als Rest(f— ½ h).(a be d+ h † f) gleich der Summe(az+† be c⸗+† de+ he † f²), w. z. b w.