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doppelten Summe der Quadrate der graden Zahien bis h, also von b und d, ist. Beweis: das Resultat ist gleich der Summe der Quadrate(a-+ b⸗+ c* d² † h²), vermindert um(a† b+ e+ d+)). Der Rest von(d=+ h²), wenn man(d+ h) davon abzieht, ist aber gleich 2 d, und der Rest von b=†ec?, wenn man(bc) davon abzieht, ist gleich 2 b², und das Quadrat von a ist ganz fortge- fallen, als a abgezogen wurde, weil a=l ist, also ist der Rest gleich dem Doppelten von(b⸗+ dꝛ²). Sei nun die vorletzte Zahl ungrade, so wird behauptet, dass der Rest gleich der doppelten Summe der Quadrate der ungraden Zahlen bis zur letzten ist. Die Zahlen seien, a, b, c, d, h, f, die Zahl vor f, nämlich h, sei ungrade. Behauptung: Der Rest ist gleich der doppelten Summe der Quadrate der ungraden Zahlen bis f, nämlich a, c, h. Beweis: Das Resultat ist gleich der Summe der Quadrate(a-+ b⸗+c⸗+ d*† h² †fs), vermindert um die Summe(a†b† e+ d† h†f), aber der Rest von (h²+ f²), wenn man(h†k) abzieht, ist gleich 2 h?, der Rest von (c.+. d²), wenn man(c+ d) abzieht, ist gleich 2 c=, und der Rest von(a-+ b2²), wenn man(a+ b) davon abzieht, ist gleich 2 a?, also ist der ganze Rest gleich dem Doppelten der Summe(a-+ b* †Lꝰ), W. 2. h. w.

37. Multipliziert man eine beliebige gege-⸗ bene Zahl mit der Summe der natürlichen Zah- lenreihe von l bis zu der auf die gegebene fol- genden Zahl, so ist das Produkt gleich der dreifachen Summen der Quadrate der graden oder ungraden Zahlen bis zu der gegebenen, je nachdem diese grade oder ungrade ist. Man multi- pliziere hmit der Summe der Zahlen a, b, c, d, h, f. Behauptung: Das Produkt ist gleich der dreifachen Summe der Quadrate der Zahlen, die h entsprechen, das sind die Zahlen a, c, h. Beweis: Das Produkt f(a † be+† d+ h t) ist gleich der Summe ſa(a+ b)+ (a‿ b c)(a‿ᷣ᷑ μb e+† d)+ a‿ †e+ d+ b).‿α μᷣ‿ᷣ‿φά†+ b ed+‿⁵ ☚† ς+(c+d+‿. άi † †‿+d+† ᷣ †f)+ f)†f], aber die Summe la+(a+ b)+(a † b† c)+(a † b† e+ d)+(a† b †e+ d+ h)) ist gleich der Summe der Quadrate(a²† c-h²), und wenn man von der Summe[(acb cd d h †f)4(bcd+ h †f)+(‿d̃ † h+† f)+ (d-† φh †f)+ hf) f die Summe(a+ b e d+ h†f) abzieht, so ist die Differenz gleich der doppelten Summe der Quadrate(a+ †+ hꝰ),