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(a-†e †h-s) so oft als Faktor enthalten ist, wie die Anzahl der Glieder angibt. Da nun d eine grade Zahl ist, ist die Anzahl der ungraden Zahlen vor d gleich der Hälfte von d. Es ist aber bereits bewiesen, dass die Anzahl der auf d folgenden un- graden Zahlen ebenso gross ist wie die der vorangehenden, also ist die Anzahl der ungraden auf d folgenden Zahlen gleich der Hälfte von d. Demnach ist die Anzahl der vorangehenden und folgenden ungraden Zahlen gleich d. Bewiesen ist, dass die Summe(a†e †h†Os) den Faktor d so oft enthält, wie die Zahl dieser Terme angibt, also d mal, also enthält die Summe(a e † h+† s) den Faktor d so viele Male, wie d Einheiten hat, also ist die Summe(a †e †h s)= d, w. Z. h. w.
30. Addiert man die Summe der Zahlen der natürlichen Zahlenreihe von eins bis zu einer gegebenen Zahl zu der Summe der Zahlen bis zu der auf diegegebene Zahl folgenden, so ist das Brgebnisgleich dem Quadrat der auf die gege- bene folgenden Zahl. Man addiere die Summe der Zahlen a, b, c, d, h zu der Summe der Zahlen a, b, c, d, h, f, und es sei a=l, so wird behauptet, dass das Resultat gleich dem Quadrat ven f ist. Beweis: Die auf f folgende Zahl bezeichnen wir mit s. Nun ist bewiesen, dass die Summe(a b† e d-+. h)= ½.. h. f ist, und dass die Summe(a† b e † d† h † f)=½ f. s ist. Aber ½ f.S ist gleich ½ S. f, weil die Faktoren einer Proportion ge- nügen. Also ergeben die Summen(a+b e+ d+ h) und (a be d †‿. Pf), addiert, ½ h. f† ½ 8. f, das ist aber gleich dem Produkt aus ½(h+ s) und f, und da(h s)= 2 f ist, ist ihre Hälfte gleich f, also ergeben die Summen(a b-Pe+ d+ h) und (a† be †d† h f), addiert, das Produkt f. f, das ist aber gleich fa, w. Z. b. w.
31. Die doppelte Summe der Zahlen der natür- lichen Zahlenreihe von 1 bis zu einer gegebenen Zahl ist gleich der gegebenen Zahl vermehrt um ihr Quadrat. Die Reihe der Zahlen sei a, b, c, d, h; a sei gleich 1. Behauptung: Das Doppelte der Summe(a b-H* A-† 1) ist gleich hh?. Beweis: W enn man die Summen(atbc-d-h) und(ar be*d) addiert, So ist das Resultat gleich h², also ist die Summe der Aggregute(arbe-d-h) und(abe rd h) um