der auf diese folgenden, so ist das Produkt gleich der Summe der Zahlen. Die Zahlen seien a, b, c. d, h, f, s, die auf s folgende Zahl sei k. Behauptung: ½ s. k ist gleich der Summe(a+† b- e †d- h f-s). Beweis: Da a+s= 2 d ist, weil a=1 ist, da ferner k=s+ 1 ist, ist k=2 d. Bewiesen ist schon, dass die Summe(a+ b- e † d † h †f s) gleich dem Produkt d. S ist. Es ist aber d. s= 2 d. ½ s, weil die Faktoren einer Proportion genügen, d. h. weil d: 2 d= ½ 8:s ist. also ist d. S=K. ½ S, und daher ist das Produkt k. ½ s gleich der Summe(a†᷑ b †e †d-h †f s) w. Z. b. w.

29. Die Summe der ungraden Zahlen einer natürlichen Reihe, die beil beginnt, ist gleich dem Quadrat der in der Mitte zwischen l und der letzten ungraden Zahl stehenden Zahl. Die Zahlen seien a, b, c, d, h, f, s, k, t, die ungraden Zahlen aus dieser Reihe, a, c, h, s, t. Behauptung: Die Summe(a e† h+s †t) ist gleich dem Quadrat der Zahl in der Mitte zwischen a und t. Beweis: Die mittlere Zahl kann entweder grade oder ungrade sein. Sei sie zuerst ungrade, wie es in diesem unsren Beispiele der Fall ist, wo wir also behaupten, dass(a†e †h+†st) gleich dem Quadrat von h, der mittleren Zahl, sein soll. Beweis: a †t= 2 h c+†. s= 2 h, also enthält die Summe a†e †st den Faktor h so oft, wie die Anzahl der zusammengefassten Glieder ungibt. Be- wiesen ist schon, dass kein ungrades Glied übrig bleiben kann, das nicht mit einem entsprechenden Gliede auf der anderen Seite verbunden werden könnte, weil die Anzahl der auf das mittlere, Glied folgenden Terme gleich der Zahl der ihm vorangehenden ist, und man die graden Zahlen mit den graden und die ungraden mit den ungraden verbinden kann, also ist die Zahl der ungraden Zahlen vor dem Mittelgliede der Zahl der ihm folgenden gleich. Die Zahl der ungraden Zahlen vor h ist aber gleich der Hälfte von h-— 1, also ist die Zahl der Posten a, c, s, t gleich h— 1, also ist h in der Summe(a†e †s+t)(h— 1)mal enthalten, in h selbst ist es einmal enthalten, also in der Summe(a†e †h+ sTt) hmal, also ist die Summe(a†e †h+st)=h’. Ist die mittlere Zahl eine grade, wie z. B, bei den Zahlen a, b, c, d, h, f, s, So wird behauptet, dass a †e †h-s= d ist, da d die mittlere Zahl ist. Genau wie vorher beweist man, dass d in der Summe