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schliesslich eine Zahl zwischen ihnen sein, dann müsste also die grössere um 2 grösser sein als die zu ihr gehörige. Nennen wir nun die Differenz zwischen der letzten Zahl der Reihe und der grösseren dieser 2 Zahlen t, so wird die kleinere dieser beiden zusammengehörigen Zahlen um t grösser sein als 1. Da nun die grössere Zahl die kleinere um 2 übertraf, muss sie 1 um t+ 2 übertreffen. Nun war aber das Endglied um t grösser als die grössere, folglich muss das Endglied um 2 t+ 2 grösser sein als 1. Aber 2 t+2 ist eine grade Zahl, also wäre die Differenz zwischen dem Endglied und 1 eine grade Zahl, demnach wäre das Endglied ungrade, das streitet aber gegen die Voraussetzung, also muss man zuletzt zu 2 auf einander folgenden Zahlen ge- langen, und somit ist der Satz als wahr bewiesen.
27. Addiert man die Zahlen der natürlichen Reihe— 1 dazu gerechnet— und ist die Anzahl der addierten Zahlen ungrade, so ist das Ergebnis gleich dem Produkt der mittleren Zahl in die letzte. Die Reihe sei a, b, c, d, h, f, s; a sei gleich 1. Behauptung:(a+ b †e-d+† hf s) ist gleich dem Produkt d. s. Beweis: Die Differenz zwischen d und ce ist gleich der Differenz zwischen h und d, also ist c-+†h=2 d. Ebenso ist die Differenz zwischen d und b gleich der Differenz zwischen f und d, also ist b f= 2 d. Ebenso zeigt man, dass a+ s= 2 d ist. Also enthält die Summe (aT b e+† d-Th †f s) den Faktor d so oft, wie die Anzahl dieser Zahlen angibt, weil je 2 von ihnen d zweimal enthalten und d sich selbst einmal enthält, also enthält die Summe(a b e+ d +hf s) den Faktor d so oft, wie die Anzahl dieser Zahlen angibt. Die Anzahl dieser Zahlen ist aber gleich s. Also ent- hält die Summe(a†b ed†h fs) den Faktor d so viele Male, wie s Einheiten hat. Man multipliziere also d mit s, so ist das Resultat gleich(a† e †e †d † h †f+† s), w. Zz. b. w. Ohne Zweifel gelangt man bei diesem Verfahren zu der letzten Zahl wie zu der ersten ¹³), weil d die mittlere Zahl zwischen der ersten und der letzten und deshalb die Anzahl der Zahlen vor ihr gleich der Anzahl der auf sie folgenden ist.
28. Beginnt man die natürliche Zahlenreihe mit 1 und greift eine ungrade Anzahl von Zahlen heraus, multipliziert dann die Hälfte der letzten Zahl mit