so bleibt dg gleich b, aber gs ist auch die Differenz zwischen a und 1, und shist gleich 1, also ist hg gleich a, dg war aber gleich b, also ist dh gleich der Summe von a und b, w. Z. b. W.

25. Wenn man 2 Zahlen addiert und die eine istebensoviel kleiner als eine gege- bene Zahl, wie die zweite grösser ist als die gegebene Zahl, so istt die Summegleich dem Doppelten der gegebenen Zahl. Die gegebene Zahl sei b, die Differenz zwischen b und a sei gleich der Differenz zwischen ch und b. Behauptung: Die Summe von a und ch ist

gleich zweimal b. Beweis: Trennen wir von ch seinen Ueberschuß über b, dieser sei sh, so bleibt cs gleich b. Da nun hs auch die Differenz zwischen a und b ist, so addiert man hs zu a und er- hält b. cs war aber auch gleich b. Also ist die Summe von a

und ch gleich dem doppelten der Zahl b, w. 2. b. w. a b— nn

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26. Addiert man, bei l anfangend, die Zahlen der natürlichen Reihe, und ist die Anzahl der addierten Zahlen grade, so ist die Summe gleich dem Produkt aus der halben Anzahl in die auf die letzte folgende Zahl. Die Zahlenreihe sei a, b, c, d, h, f, die auf f folgende Zahl sei s, a sei 1(1 soll in dieser ganzen Untersuchung schlecht- hin als„Zahl“ betrachtet werden). Behauptung: Die Summe der Zahlen(a† b e † d+† h+ f) ist gleich dem Produkt aus der Hälfte ihrer Anzahl und g. Beweis: Weil a=l ist, ist f a=s, die Differenz zwischen b und 1 ist aber gleich der Differenz zwischen f und h, nämlich 1, also ist die Summe bh=s. Ebenso beweist man, dass die Differenz zwischen c und 1 gleich der Differenz zwischen f und d ist, nämlich 2, also ist c-+ d=s. Also ist in der Summe(a†b e+† d+† h+ f) der Faktor s so oft enthalten wie die Hälfte der Anzahl der Zahlen a, b, c, d, h, f, denn die Summe von je zweien dieser Zahlen enthält s einmal, w. Z. b. w. Klar ist es aber, dass dieser Beweis für die unendliche Reihe der Zahlen gilt, und zweifellos, dass man bei diesem Verfahren ¹²) zuletzt zu 2 auf einander folgenden Zahlen gelangt, wie es c und d in unsrem Beispiele sind. Denn wäre es anders möglich, so müsste