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die Zahlen der Reihe nach ihr as, ag, ab. Behauptung: Die Dif- ferenz zwischen ab und ah ist gleich der Differenz zwischen at und ab. Beweis: Die Anzahl der Zahlen ah, ad, ac ist gleich der Anzahl der Zahlen as, ag, at, aber die Anzahl der Zahlen

————— ad, ac, ab ist auch ³⁴ h d c b 8 g t

gleich der der Zahlen ah, ad, ac, also ist die Anzahl der Zahlen ad, ac, ab gleich der der Zahlen as, ag, at. Aber die Differenz zwischen ab und ah ist gleich der Anzahl der Zahlen ad, ac, ab, und die Differenz zwischen at und ab ist gleich der Anzahl der Zahlen as, ag, at, also ist die Differenz zwischen ab und ah gleich der zwischen at und ab, Ww. Z. b. w.

23. Wenn in der natürlichen Zahlenreihe die An- zahl der Zahlen vor einer gegebenen Zahl gleich der Anzahl der auf sie folgenden ist, so ist die letzte grade oder ungrade, je nachdem die erste es ist. Die gegebene Zahl sei d, die Zahlen vor ihr c, b, a, die folgenden h, f, g. Behauptung: Wenn a grade ist, so ist g grade, wenn a ungrade ist, so ist es auch g. Beweis: Die Differenz zwischen d und a seit, demnach ist g um t grösser als d, also ist g um 2 t grösser als a. 2 t ist aber eine grade Zahl, also ist die Differenz zwischen g und a eine grade Zahl, deshalb ist g eine grade Zahl, wenn a grade ist, und eine ungrade Zahl, wenn a eine solche ist, w. Z. b. w.

24. Wenn man 2 Zahlen addiert und die Dif- ferenz zwischen der einen und l ist gleich der Differenz zwischen einer beliebigen gegebenen Zahl und der zweiten, so ist die Summe der beiden Zahlen gleich der auf diegegebene fol- genden Zahl. a b

c d 5 1 h Es sei a soviel grösser als 1, wie b kleiner ist als die gegebene Zahl c. Die auf c folgende Zahl sei durch dh dargestellt. Be- hauptung: Die Summe von a und b ist gleich dh. Beweis: Wir ziehen 1, das durch sh dargestellt ist, von dh ab, als Rest bleibt sd gleich c. Machen wir nun die Differenz zwischen e und b gleich sg,