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hauptung: die Zahl der graden Zahlen bis ab ist gleich der An- zahl der ungraden Zahlen bis db, 1 mitgerechnet. Beweis: Wir teilen ab in die Anzahl seiner Einheiten, es seien dieses ac, cd, dh, ab. Siehe, weil ab gerade ist, ist ah ungrade, da ab 1 mehr ist als ah. Ebenso beweist man, dass ad grade und ac ungrade ist, ac ist aber 1, also ist die Zahl der graden Zahlen bis ab gleich der Zahl der ungraden, w. Z. b. w. Aus dieser Figur er- sieht man, dass, wenn eine ungrade Zahl gegeben ist, die Anzahl der ungraden Zahlen in der mit 1 beginnenden Reihe bis zu ihr um 1 grösser ist als die Anzahl der graden Zahlen, denn wenn wir diese gegebene ungrade Zahl weglassen, so ist die letzte Zahl grade, und die Anzahl der graden ist gleich der Anzahl der un- graden Zahlen, also ist jetzt die Anzahl der ungraden Zahlen um 1 grösser als die der graden.

21. Folgt auf eine gegebene Zahl in der na- türlichen Reihe eine Anzahl von Zahlen so hat die letzte Zahlso viel Einheiten mehr als die gegebene, wie die Anzahl der auf diese folgen- den Zahlen angibt. Auf die gegebene Zahl ab mögen der Reihe nach die Zahlen ac, ad, ah folgen, die Anzahl dieser Zahlen sei s. Behauptung: ah ist um s grösser ab. Beweis: Setzen wir die Anzahl der Zahlen bis zu ab gleich g, dann enthält ab g Ein- heiten. Nun ist die Zahl der Zahlen der natürlichen Reihe bis ah um s grösser als die Zahl der Zahlen der Reihe bis ab, also ist die Zahl der Zahlen bis ah gleich g+s, also die Anzahl der Einheiten von ah gleich der Summe aus g+ s. Die Zahl der Einheiten von ab ist aber g, also ist ah um s grösser als ab, w. Z. b. w.

22. Wenn die Anzahl der Zahlen einer Reihe vor einer gegebenen Zahl gleich der Anzahl der auf sie folgenden ist, so ist die Differenz z wischen der gegebenen nnd der ersten Zahl der Reihe gleich der Differenz zwischen der letzten Zahl der Reihe und der gegebenen. Die gegebene Zahl sei ab, die Zahlen der Reihe vor ihr ac, ad, ah,