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seien 4 von dq=r, der Rest sei v. Behauptung y= v. Beweis: a wurde mit b multipliziert und ergab l. Also verhält sich a: l wie 1: b. Man, zeigt nun nach dem vorhergehenden Beweis, dass :n sich verhält wie c: t und n: y wie d: k. Also setzt sich das Verhältnis a: y zusammen aus dem Verhältnis der Zahlen 1, c, d zu den Zahlen b, t, k, Ebenso beweist man, dass das Verhältnis a: v sich aus dem Verhältnis der Zahlen d, 1, c zu den Zahlen k, b, t zusammensetzt. Aber das aus dem Verhältnis der Zahlen 1, c, d zu den Zahlen b, t, k zusammengesetzte Verhältnis ist, gleich dem aus dem Verhältnis der Zahlen d, 1, c zu den Zah- len k, b, t zusammengesetzten, also ist das Verhältnis von a zu y und zu v dasselbe, also ist y= V, w. Z. b. w. Wir haben nun 1 eine Zahl schlechthin genannt, obwohl es keine Zahl ist, denn ¹), was den Beweis betrifft, so ändert sich derselbe nicht, und das ist durch den Beweis in Nr. 13 dieses Abschnittes klargelegt. 19. Wenn eine Zahlgegeben ist, so ist die Anzahl der Zahlen der Reihe vonl bis zu dieser Zahl gleich der Anzahl der Einheiten, die in der gegebenen Zahl enthalten sind. Die gegebene Zahl sei ab. Behauptung: die Anzahl der Zahlen der bei 1 beginnenden Reihe bis zu der Zahl ab ist gleich der Anzahl der Einheiten, die in ab
enthalten sind. d h„
Beweis: Wir teilen ab in lauter der Einheit gleiche Teile und zwar ac, cd, dh, hb. Siehe ab ist= 1, und wenn man damit cd verbindet, welches der Einheit gleich ist, so stellt ad die auf ac folgende Zahl dar. Ebenso zelgt man, dass die Zahl ah die auf ad folgende und ab die auf ah folgende Zahl darstellt. Also bilden die Zahlen ac, ad, ah,, ab eine Reihe von Zahlen, die mit 1 beginnen und deren Anzahl der Zahl der Einheiten von ab gleich ist, w. z. b. w. Ebenso beweist man aus derselben Figur, dass die Zahl der Einheiten der letzten Zahl einer mit 1 begin- nenden Reihe gleich der Anzahl dieser Zahlen ist.
20. Wenn eine grade Zahl geegeben ist. so ist die Anzahl der ungraden Zahlen von 1 bis zu ihr, 1 mitgerechnet, gleich der Anzahl der
graden Zahlen bis zu ihr. ab sei eine grade Zahl. Be-