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gleiche Teile f wie h Einheiten, und deshalb enthält n so viele gleiche Teile f wie t Einheiten. Man beweist nun auf die vorige Weise, dass Ian sich wie c:t verhält, und ebenso beweist man, dass n: y sich wie d: k. verhält, also ist, das Verhältnis a: y aus dem Verhältnis der Zahlen b, c, d zu den Zahlen g, t, k zusammengesetzt. lthan beweist man, dass sich a: o aus dem Ver- nältnis der Zahlen d, b, c zu den Zahlen k, g, t zusammensetzt, aber das Verhältnis, das 4, aus den Zahlen b, c, d zu den Zahlen g, t, k zusammensetzt, ist gleich dem Verhältnis, dass sich aus den Zahlen d. b, c zu den Zahlen k, g, t zusammensetzt, also ist das Ver- hältnis von p zu y und zu o dasselbe, also ist y= o. Deshalb muss auch die Summe der Zahlen p, m, x gleich der Summe der Zahlen z, r, v sein. Denn die Differenz zwischen a und y ist gleich der Summe von p, m, X, und die Differenz zwischen a und o ist gleich der Summe von Z, r, v, es war aber bewiesen, dass y= o ist, also müssen die Summen von p, m, X und Zz, r, v gleich sein, w. 2. b. W

18. Multipliziert man eine gegebene Zahl mit einer beliebigen Zahl, zieht von dem Resul- tat der Multiplication einen gegebenen Teil oder gegebene Teile ab und setzt beide Opera- tionen fort, so ist der letzte Rest derselbe, wenn man die Reihenfolge der Operationen ver- tauscht. Die gegebene Zahl sei a, sie werde mit b multipli-

: h

ziert, von dem Resultat werden c Weggenommen, von dem Rest

8... 2.

d- es bleibe eine gewisse Zahl. Behauptung: Vertauscht man die .. 8S.1..

Reihenfolge und nimmt d von a fort, multipliziert den Rest mit

b und nimmt von dem Resultat 5 fort, so bpleibt dieselbe Zahl. übrig, die bei der ersten Anordnung übrig geblieben war. Beweis: Wir setzen 1 neben ¹⁰⁹) die Zahl b und setzen die Summe der Zahlen h und t= c und die Summe der Zahlen s und k= d. Es werde

nun a mit b multipliziert, das Resultat sei l, es seien h von der Zahl 1= m, der Rest sei die Zahl n, es seien 4 der Zahln= X

der Rest sei y. Ferner nehmen wir 4 von a, das sei die Zahl p, der Rest sei z, z werde mit b multipliziert und ergebe—, es