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Zahlen g und’t kleiner als c sein. Sei die Zahl, die kleiner als c ist, g, dann muss g entweder eine Primzahl oder eine zusam- mengesetzte Zahl sein. Wäre sie prim und kleiner als c, so wäre a nicht prim zu allen Primzahlen, die kleiner als c sind, und es war doch vorausgesetzt, dass sie prim zu allen wäre, also ist diese Annahme unmöglich. Wäre sie aber zusammen- gesetzt, so müsste sie unbedingt eine Primzahl als Faktor ent- halten, die kleiner als g und daher auch kleiner als c ist. Und es ergäbe sich genau die vorige Ungereimtheit, also kann keine Zahl als Faktor in a enthalten sein, und daher ist a eine Prim- zahl; w. Z. b. w.

17. Subtrahiert man von einer gegebenen Zahl einen beliebigen Teil oder beliebige Teile Gund zieht von dem Rest einen beliebigen andern Teil oder beliebige andere Teile desselben ab u. s. w., so ist der zuletzt übrig bleibende Rest derselbe und die Summe der abgezogenen Teile dieselbe, wenn die Reihenfolge vertauscht wir d. Es sei a die gegebene Zahl, die Teile sollen die Nenner

4 1 h 8 b, c, d haben. und zwar seien es von a, cvom Rest und vom

b

4 1 nächsten Rest. Behauptung: b von a, vom Rest und 3 von

... 8 dessen Rest addiert, sind gleich d von a, vermehrt um vom Rest

1

b h. 7.

und c von dessen Rest. Beweis: Wir machen g

machen ferner die Einheiten der Summe der Zahlen h undt=

= b— 1,

. 1. und der Zahlen s und k= d. Es sei von a= p, es bleibe 1

b übrig, dann seien c von 1= m, es bleibe n übrig; ferner seien 8 b.1.. 8S d vonn= v, es bleiben y übrig. Ebenso seien d von a= 2,

der Rest sei q, 3 von—' sei r, der Rest sei e, es seien 3 von e = v, der Rest sei o. Behauptung: y ist= o. Beweis: Weil p gleich¹ von a ist, enthält a soviel Teile p, wie b Einheiten. hat, vermindert um 1, g ist aber= b— 1, also enthält l soviel gleiche Teile p wie g Einheiten. Also verhält sich a: l wie b: g,

weil die Zahlen b bezw. g, mit p multipliziert, a bezw. l ergeben.

79 1 2. Ebenso setzen wir d von 1= f, demnach enthält m so viele