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a, b, c, d zu den Zahlen h, s, g, t zusammensetzt, gleich dem Verhältnis ist, das sich aus den Zahlen a, b, c, d zu den Zahlen h, g, t, s zusammensetzt, gleich dem Verhältnis k: l, also ist das zusammengesetzte Verhältnis der Zahlen a, b, c, d, zu den Zahlen g, h, t, s auch gleich dem Verhältnis k: l, was wir zeigen wollten. Hierdurch ist aber bewiesen, dass, wenn die Ordnung der Vorderglieder vertauscht wird, sie aber Vorder- glieder bpleiben, das zusammensetzte Verhältnis desselben bleibt, w. 2Z. b. w.

15. Jede Zahl, die zu einer aus beliebigen gegebe- nen Zahlen zusammengesetzten Zahl prim ist, ist zu allen diesen Zahlen prim. Die Zahl a sei prim zu der Zahl h, die Zahl h sei aus den Zahlen b, c, d zusammengesetzt. Be- hauptung: a ist prim zu allen den Zahlen b, c, d. Beweis: Es ist anders unmöglich, denn wenn es möglich wäre, so mögen a und c einen gemeinsamen Faktor haben, dieser Faktor sei eine beliebi- ge Zahl, die wir s nennen wollen. Nun ist aber c ein Faktor von h, denn es ist darin so oft enthalten, wie die Einheiten von b. d angeben, also ist auch s ein Faktor von h. Nach der Annahme war es aber auch ein Faktor von a, also hätten a und h einen gemeinschaftlichen Faktor, a sollte aber nach der Voraussetzung prim zu h sein— also ist die Annabme falsch, und a muss zu jeder der Zahlen b, c, d prim sein.

16. Jede Zahl, die prim zu allen Zahlen ist, die kleiner sind als die Quadratwurzel aus der zu ihr nächsten grösseren Zah!, ist eine Primzahl. Die Zahl a sei prim zu allen Zahlen, die kleiner sind als die Quadratwurzel aus b, der nächst grösseren Quadratzahl nach a, die Wurzel aus b sei c, die Primzahlen, die kleiner sind als c, seien d, h, s; a sei also prim zu jeder von ihnen. Behauptung: a ist eine Primzahl. Beweis: Gäbe es eine andere Möglichkeit, so müsste a durch einen Faktor g, teilbar sein. g sei in a so oft enthalten, wie die Anzahl der Einheiten vont angibt. Es ist nun klar, dass nicht beide Zahlen g und t grösser sein können als c, denn wenn das möglich wäre, könnte das Produkt g.t, das gleich a ist, nicht kleiner sein, als das Produkt c. c, welches gleich b ist, und es war doch vorausgesetzt, dass a kleiner sei als b, also wäre diese Annahme falsch, und also muss eine der