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t. d. h.s wurde mit c mulipliziert und ergab x und mit k multipliziert und ergab y, also verhält sich X:F wie c: k. Ebenso multiplizieren wir die Zahl t. K. h. s mit l und setzen das Ergebnis gleich p, man zeigt dann wie vorher, dass y: p sich so verhält, wie d: l, ebenso multiplizieren wir die Zahl t. K. 1. s mit der Zahl m, das Resultat sei z, und es zeigt sich gleich- falls, dass p: z sich verhält, wie h: m, und auf dieselbe Weise wird bewiesen, dass z:g sich wie s:n verhält. Und wenn die Sache so ist, ist es klar, dass sich das Verhältnis a: g aus 5 Verhältnissen zusammensetzt, aus a: x, aus X: y, aus y: p, aus p: z und aus 2: g. Nun ist bereits gesagt, dass jedes dieser Verhältnisse gleich dem entsprechenden aus der Reihe der Ver- hältnisse der Zahlen b, c, d, h, s zu den Zahlen t, k, l, m, n ist; also setzt sich das Verhältnis a:g aus 5 Verhältnissen zusammen, aus dem Verhältnis b: t, dem Verhältnis c: k, dem Verhältnis d: l, dem Verhältnis h: m und dem Verhältnis S: n; w. Z. b. W. ²)

14. Wenn ein Verhältnis sich aus beliebigen Zahlen als Vordergliedern und beliebigen Zahlen als Hintergliedern zusammensetzt und man die Ordnung entsprechender Glieder verändert, so dass die Vorder- glieder Vorderglieder und die Hinterglieder Hinter- glieder bleiben, so bleibt das zusammengesetzte Ver- hältnis gleich dem früheren Verhältnis. Es seien die Vorderglieder die Zahlen a, b, c, d, die Hinterglieder die Zahlen h, s, g, t, das Verhältnis, das sich aus a: h, b: s, c: g, d:t zusammen- setzt, sei gleich k: l. Vertauscht man entsprechende Glieder und nimmt das Verhältnis, das sich aus a: g, b:h, c:t und. dem Verhältnis d:s zusammensetzt, so ist dieses auch gleich dem Verhältnis k: l. Beweis: Wir nennen die Zahl, die sich aus den Zahlen a, b, c, d zusammensetzt, m; und die Zahl, die sich aus den Zahlen h, s, g, t zusammensetzt, n. Siehe, dann ist das Verhältnis m: n gleich dem Verhältnis, das sich aus den Zahlen a, b, c, d zu den Zahlen h, s, g, t zusammensetzt. Die Zahl, die sich aus h, s, g, t zusammensetzt, ist aber gleich der Zahl, die aus h, g, t, s gebildet wird. Nun ist das Verhält- nis m:n gleich dem Verhältnis, das sich aus den Zahlen a, b, c, d zu den Zahlen h, g, t, s, zusammensetzt, also ist(nach der Einleitung des Euklid) das Verhältnis, das sich aus den Zahlen