— 10 a. d. g so oft als Faktor, wie das Produkt h. s Einheiten hat, da jeder von ihnen gleich a. d. h. s. g ist. Nun enthält tk als Ganzes a. d. g so oft als Faktor, wie das Produkt h. s. multipliziert mit ihrer Anzahl, die gleich dem Produkt
b. c ist, angibt, Das Resultat ist aber, wie schon gezeigt, die Zahl, die aus den Zahlen b, c, h, s zusammengesetzt
ist. Also enthält tk als Ganzes die aus a, d, g zusammenge- setzte Zahl so oft, wie die Einheiten in der aus b, c, h, s zu- sammengesetzten Zahl angeben. Muͤltipliziert man also das Produkt a, d, g mit dem Produkt b, c, h, s, so ist das Resultat
8 die durch tk dargestellte Zahl. Damit ist auch gezeigt, dass,
wenn man die aus irgend welchen von diesen Zahlen zusammen- gesetzte Zahl mit der aus den übrigbleibenden gebildeten multi- pliziert, das Resultat auch tk ist., Und somit ist auch für jede Zahl, die sich aus beliebig vielen Zahlen zusammensetzt, gezeigt, dass das Ergebnis eben dieselbe Zahl ist, wenn man mit der aus irgend welchen Zahlen gebildeten Zahl, die aus den übrigbleiben- den zusammengesetzte multipliziert. Deshalb enthält die resul- tierende Zahl auch die aus irgend welchen dieser Zahlen zu- sammengesetzte so oft als Faktor, wie die Anzahl der Einheiten
der aus den übrigbleibenden gebildeten angibt, w. z. b. w.
1 f m 2 r
13. Das Verhältnis einer aus beliebig vielen Zahlen zusammengesetzten Zahl zu einer aus eben- sovielen Zahlen zusammengesetzten ist gleich dem Verhältnis, das sich aus den Verhältnissen der Vorder- glieder zu den Hintergliedern zusammensetzt. Die Zahl a sei aus den Zahlen b, c, d, h, s zusammengesetzt, g aus Zahlen t, k, l, m, n. Behauptung; Das Verhältnis a: g setzt sich aus 5 Verhältnissen, zusammen aus dem Verhältnis b: t, dem Ver- hältnis c: k, dem Verhältnis d: l, dem Verhältnis hm und dem Verhältnis s: n. Beweis: Wir multiplizieren die aus c, d, h's. zusammengesetzte Zahl mit t, das Resultat sei x. Siehe, das Produkt c. d. h. s. wurde mit b multipliziert und ergab a und mit t multipliziert und ergab X; also verhält sich a: X wie b: t. Und ebenso multiplizieren wir die aus t, d, h, s, ge- bildete Zahl mit k, das Resultat sei y. Siehe, die Zahl