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und jeder dieser Teile enthält das Produkt c.h so oft, wie d
Einheiten hat. Nun enthält sg das Produkt c.h so oft als Faktor wie seine Teile zusammen, die Teile zusammen aber ent- halten es so oft, wie ihre Anzahl, multipliziert mit d, angibt, nun ist aber ihre Anzahl gleich der Anzahl der Einheiten von a, also
ist das Produkt c.h in sg so oft als Faktor enthalten, wie das Produkt a.d angibt. Multipliziert man also das Produkt c.h mit
dem Produkte a.d, so ist das Resultat sg. Und so wird bewiesen,
dass das Resultat gleichfalls sg sein wird, wenn man die aus den 2 übrig gebliebenen Zahlen zusammengesetzte Zahl mit der aus 2 beliebigen von diesen zusammengesetzten multipliziert. Und mit genau demselben Beweis wird gezeigt, dass das Resultat, dieselbe Zahl ergibt, wenn man eine aus 4 Zahlen zusammen- gesetzte Zahl mit einer beliebigen Zahl multipliziert, eine Zahl als Ergebnis erhalten hat, und dann die aus den 3 übrig- bleibenden Zahlen gebildete mit der aus 2 beliebigen von ihnen zusammengesetzten Zahl multipliziert. Und so ist das durch denselben Beweis ohne Ende dargelegt. Und deshalb enthält, das Resultat die aus 2 beliebigen der Zahlen zusammengesetzte Zahl so oft als Faktor, wie die aus den übriggebliebenen ge- bildete Zahl Einheiten besitzt, w. z. b. w.
12. Multipliziert man eine aus beliebig vielen Zahlen zusammengesetzte mit einer beliebigen Zahl und erhält man eine Zahl als Resultat, so erhält man dieselbe Zahl als Ergebnis, wenn man mit der aus beliebigen von diesen Zahlen zusammengesetzten die aus den übrig bleibenden zusammengesetzte multi- pliziert. Es werde die aus b, c, d, h, s, g zusammengesetzte Zahl mit a multipliziert, das Resultat sei tk. Behauptung: Multipliziert man die aus den Zahlen a, d, g zusammengesetzte Zahl mit der aus den Zahlen b, s, h, g zusammengesetzten, so ist das Resultat gleichfalls tk. Beweis: tk enthält die aus b, c zusammengesetzte Zahl so oft, wie die Einheiten der aus a, d, h, s, g, zusammen- gesetzte Zahl angeben. Teilen wir nun tk in Teile, die der aus a, d, h, s, g zusammengetzten Zahl gleich sind, die Teile seien tI, Im, mz, 2k, so ist die Anzahl dieser Teile gleich der Anzahl der Einheiten von b. c. Jeder dieser Teile enthält aber