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die hinzugefügte Zahl h grösser als h, W. 2. b. w. Aus diesem Beweise ergibt sich, dass die Summe der Zahlen der natürlichen Reihe von 1 bis zu einer gegebenen Zahl gleich ist dem Quadrat der gegebenen Zahl vermehrt um deren Hälfte.

32. Addiert man Summen von natürlichen Zah- lenreihen, die mit 1 beginnen und deren erste Glieder der natürlichen Zahlenreihe entsprechen, bis man zu einer bestimmten Zahl gelangt, so ist die Summe gleich der Summe der Quadrate der der gegebenen Zahl entsprechenden Zahlenart, d. h. das Ergebnis ist gleich der Summe der Quadrate der graden oder ungraden Zahlen bis zu der gegebenen Zahl, je nach- dem diese grade oder ungrade ist. a seil und werde zu den Summen(a b),(ab†c),(a†b ed),(ab e4†d†h), (at be†dh*f) addiert, f Sei eine grade Zahl. Behauptung: Das Resultat ist gleich der Summe der Quadrate von d, b, †, welches die graden Zahlen sind. Beweis: Die Summen der Aggregate(a+ b ‿e ‿ †‿. †f), und(a b†e d+ e) ist gleich fa und die Summe der Aggregate(a† b† e+ d) und(a †b †e) ist gleich da, und die Summe der Aggregate(a+ b) und a ist gleich b, also ist die Summe der Aggregate(a+ b),(a+ b+c),(a † b†e †. d), (a-†† b++ h),(a † b ed.+‿.elέ³f+)=b? d †fé. Sei nun die letzte Zahl ungrade, so wird behauptet, dass das Resnltat gleich der Summe der Quadrate der ungraden Zahlen bis zu der gege- benen Zahl ist, 1 mitgerechnet. Beispiel: das letzte Aggregat sei(a † b e+ d+† h †f s). Behauptung: Das Resultat ist gleich der Summe der Quadrate der ungraden Zahlen, a, c, h, s. Be- weis: Die Summe der Aggregate(a† b†e+ d† h †fs) und (a+ b e † d+† h †t) ist gleich s², die Summe der Aggregate (a+ b e+ d+ h) und(a† b†e+d) ist gleich h, die Summe der Aggregate(a- b+ c) und(a+† b) ist gleich c⁊, es bleibt a übrig, dass offenbar gleich seinem Quadrat ist, weil a doch 1 bedeutet, also ist das Resultat gleich a²+. e⸗ †+h*+ s², w. Z. b. w.

33. Addiert man Summen von Zahlenreihen, deren erste Glieder eine natürliche Zahlen- reihe bilden und deren erste beil anfängt und sich bis zu einer bestimmten Zahl erstreckt, so ist das Ergebnis gleich der Summe der Qua-