dem Produkte ad. db, vermehrt um das Quadrat von cd, W. 2z. b. w.

9. s)Wenn man eine aus zwei Zahlen zusam- mengesetzte Zahl mit einer Zahl multipliziert und das Resultat eine gewisse Zahl ist, so er- hält man dieselbe Zahl als Resultat, wenn man die aus zwei beliebigen dieser 3 zusammen- gesetzte Zahl mit der dritten multibpliziert. Die Zahl a sei mit dem Produkt aus b und c multipliziert, das Resultat sei die durch dh dargestellte Zahl. Behauptung: Multi- pliziert man b mit dem Produkt a. c, so ist das Resultat gleich- falls dh. Beweis: In der Zahl dh ist das Produkt b. c so oft als Faktor enthalten, wie a Einheiten hat. Teilen wir nun dh durch das Produkt b. c, und es seien seine Teile, die dem Produkt b. c gleich sind, die Teile ds, sg, gh. Die Anzahl dieser Teile wird dann gleich der d 4 8 h Anzahl der Einheiten von a sein. Klar ist es nun, daß jeder dieser Teile ds, sg, gh, b so oft als Faktor enthält als c angibt, da jeder gleich dem Produkte b. c ist. Nun enthält dh als Ganzes den Faktor b so oft wie alle seine Teile zusammen, in den Teile zusammen ist er aber so oft enthalten, wie ihre Anzahl, multipliziert mit c, angibt, und ihre Anzahl ist gleich der Anzahl der Einheiten von a. Also ist b. d in dem ganzen dh so oft enthalten, wie das Produkt a. c angibt. Multipliziert man demnach die Zahl b mit,

dem Produkt a. c, so erhält man dh, w. z. b. w. Ebenso wird

man beweisen, daß das Resultat dh erhalten wird, mit welcher Zahl von diesen dreien auch immer man das Produkt der beiden andern multipliziert.

10. Multipliziert man eine aus 3 gegebenen zusammengesetzte Zahl mit einer Zahl, und ist das Ergebnis irgend eine Zahl, so er- hält man dieselbe Zahl, wenn man die aus den 3 übrigen zusammengesetzte Zahl mit irgend einer dieser Zahlen multipliziert. Die aus den Zahlen c, d, h zusammengesetzte Zahl werde mit a mul-

tipliziert, es ergebe sich sg. Behauptung: Multipliziert man die