gleich der Summe der Quadrate von ab und be, vermehrt un das doppelte Produkt aus ab und Pe, w, Z. b. w

7. Addiert man zu einer beliebigen Zah eine beliebige andere, so ist das auadra der Summe gleich dem Produkt aus de Summe in eine der beiden Zahlen, ver mehrt um das Produkt der beiden Zahler un d das Quadrat der zweiten. Gegeben sei die

Lahl b, h csie werde vermehrt um

bc. Behauptung: Das Quadrat von ac ist gleich dem Produk ab. ac, vermehrt um das Produkt ap. Pe und das Quadrat von be. Beweis: Das Produkt ac. ac ist gleich der Summe der Produkte ach ab und pe. àb, das letztere ist aber gleich dem Produkte ab. pe vermehrt um das Quadrat von be, also ist das Quadrat von ac gleich der Summe aus den Produkten ab. dc und

ab. be und dem Quadrat von pe, W. 2. b. w.

8. Das Quadrat der Hälfte einer belie- bigen Zahl ist gleich dem Produkt aus einem beliebigen Teilder Zahlin den Rest, vermehrt um das Quadrat der Differenz zwischen einem beliebigen der Teile und der

halben Zahl. Die gegebene Zahl sei durch ab dargestellt, sie sei im Pudukte c halbiert und in einem beliebigen Produkte d

geteilt. ⁴ Cd o,; Behauptung: Das Quadrat von

ac ist gleich der Summe des Produktes ac. db und des Quadrates von cd. Beweis: Das Quadrat von ac ist gleich der Summe der Produkte cd. dc und db. ac. Nun ist das Produkt ad. Pd gleich der Summe der Produkte ac. db und cd. pd. Ziehen wir das gemeinschaftliche Produkt ac. db ab, so ist das, was von dem Quadrat von ac bleibt gleich, dem Produkt cd'. ac, welches gleich dem Produkt cd. ch ist. Von dem Produkt ad. db pleibt das Produkt cd. db. Nun ist aber der Unterschied zwischen dem Produkt cd. ch und dem Produkt cd. db gleich dem Quadrat von GCd. Also muss das Quadrat von ac gleich sein