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trifft, wie sie mehr als 1 ist. Die gegebene Zahl ist die„Endzahl“ zu dieser gegebenen Zahl.
Die Zahlen zerfallen in grade und ungrade. Der Peil, dessen Nenner grösser ist, ist kleiner. Beispiel: ½ ist grösser als, und die Zahl, durch die ⁰½ benannt ist, 2, ist kleiner als 5, durch das ë benannt ist. Das zu beweisen, sei a eine be- liebige Zahl, ihre Teile seien b und c, b sei grösser als c, d sei
a... der Nenner des Bruches d' der gleich b ist, h der Nenner des Bruches h' der gleich c ist. Behauptung: d ist kleiner als h. Beweis: Da d der
. a. 1... Nenner des Bruches d ist, multipliziere man b mit d und er-
24 d... hält a, da ferner h der Nenner des Bruches h ist, multipliziere
man h mit c und erhält a, also ist b. d gleich h. c. Es stehen also die Faktoren in gleichem Verhältnis, b: c wie h: d. Nun ist aber b grösser c, also auch h grösser als d, w. Z. b. w.
Ein Teil oder eine Summe von Teilen ist grösser als ein anderer Teil oder eine andere Summe von Teilen, wenn dieser Teil oder diese Summe von Teilen, voneiner beliebigen Zahl genommen, grösser ist als der andere Teil oder die Summe der anderen Teile, von eben dieser Zahl genommen.„Eins“) ist teilbar als benannte Zahl, das ist aber eine andere Seite als die Betrachtung der„Eins“ als einer unbenannten Zahl; dieses Buch jedoch befasst sich gleich- mässig mit beiden Betrachtungen, daher soll es uns nicht stören, wenn„Eins“ in einigen Beweisen*) des ersten Teils geteilt wird.
Erster Abschnitt: behandelt die Grundlagen, die wir dieser Tätigkeit zu geben haben.
1. In einem Produkt, das aus der Multiplikation zweier Zahlen entstanden ist, ist jede der Zahlen so oft enthalten, wie die andere Zahl Einheiten hat.
2. Wenn zwei Zahlen gegeben sind und man teilt die eine in beliebig viele Teile, so ist das Pro- dukt der beiden Zahlen gleich der Summe der Pro-
dukte aus den Teilen der 2ten und der ersten. Die gegebenen Zahlen seien 2 h. 4 ½ ,b 5„ab und c, man teile ab in die Teile ar, fid, dh. Behauptung: ab. c
ist gleich der Summe der Produkte ah, c, hd. cund dh c. Beweis: In