— 2— betrifft, so ist es richtig, dass der, der sich mit ihm befasst ²), vorher sich mit dem Tten Sten und 9ten Buch der Euklid beschäf- tige, denn es ist nicht unsre Absicht, in diesem Buch seine Worte zu wiederholen ³), wir werden sie vielmehr auf der Stufe von Grundsätzen belassen, da sie dort schon durch Beweise erläutert sind.
Einleitung des ersten Abschnitts.
Eine Zahl heisst aus mehreren Zahlen zusammengesetzt, wenn sie so gebildet ist, dass die erste mit der zweiten multipliziert wurde, das Resultat mit der dritten u. S. W. Die Anzahl der Zahlen und der gegebenen Teile ist die Anzahl der darin enthaltenen Zahlen und gegebenen Teile. Das zusammensetzte Verhältnis gegebe- ner Zahlen zu gegebenen Zahlen ist das Verhältnis des ersten der Vor- derglieder zu dem ersten der Hinterglieder, multipliziert mit dem Ver- hältnis der zweiten der Vorderglieder zum zweiten der Hinterglieder u. s. w. Die natürliche Zahlenreihe, die mit 1 beginnt, ist 1, 2, 3 u. s. w. Die Zahl vor einer Zahl ist die um 1 kleinere, die Zahl nach einer Zahl die um 1 grössere.
Die Summe der natürlichen Zahlenreihe bildet man, indem man zu 1 2, 3 u. s. w. addiert. Die Summe der ungraden natürlichen Zahlenreihe, die mit 1 beginnt, bildet man, indem man zu 1 3, 5 u. s. w. addiert. Die Summe der natürlichen graden Zahlenreihe bildet man, indem man zu 2, der ersten graden Zahl, 4, 6 u. s. w. hinzuzählt.
Eine arithmetische Reihe, ist eine Reihe, in der das 2te Glied um ebensoviel grösser ist als das erste, wie das 3te grösser ist als das 2te u. s. w.
Unter ⁴) der Summe von Reihensummen, deren Anfänge der natürlichen Zahlenreihe entsprechen und die mit eins beginnen, versteht man die Summen von Aggregaten, die bei einer und derselben Zahl enden, deren erstes mit 1 beginnt, während das 2te mit 2 anfängt u. s. w.
Unter der Summe von Reihensummen 5), deren Enden der natür- lichen Zahlenreihe entsprechen, versteht man die Summen von Aggregaten, die alle mit eins beginnen, deren erstes 1 allein ist, während das zweite 1 plus 2, das dritte 1 plus 2 plus 3 u. S. w. heisst.
Eine Zahl ist das arithmetische Mittel zwischen 1 und einer gegebenen Zahl, wenn die gegebene Zahl sie um ebensoviel über-