gelangen können. Im übrigen bieten sie wohl nichts, was über das schon im ganzen Mittelalter, ja schon im Altertum Bekannte hinausgeht. Daß hier im theoretischen Teil die zum Gebiete der Division gehörigen Sätze vorausgenommen sind, während der zweite Abschnitt die Division und Bruchrechnung erst in das fünfte Kapitel verweist und Reihensummation und Combinatorik vorweg nimmt, weil sie„Verbindungen“ sind, darf nicht Wunder nehmen, es sind hier eben theoretische Grundlagen, die in mehrere Ge- biete hinüberspielen und die bei der ersten Gelegenheit abgetan werden, Grundlagen, von denen unser Autor in der Einleitung sagt, wer sie kennt, vermöchte mit der einen Kenntnis den Aufbau der Operation in den vielen Arten zu erkennen, deren Aus- führung dieselbe Grundlage hat.
In den nun folgenden Sätzen 21— 43 werden die Grundlagen für das dritte Kapitel des zweiten Abschnittes gegeben. Schritt für Schritt vorgehend und alles Folgende im Früheren vorberei- tend, bringt Gersonides hier die streng mathematischen Beweise für manche neue und manche schon früher durch Induktion ge- fundene Resultate. Die Summenformel für eine Anzahl von Gliedern der natürlichen Zahlenreihe, für eine Anzahl auf einander folgender grader und ungrader Zahlen wird abgeleitet, die Quadrate der natürlichen Zahlenreihe werden summiert, ebenso getrennt die Quadrate der graden und ungraden Zahlen, endlich mit Hülfe von
1 figurierten Zahlen von der Form SD.. ue n
der archimedischen Reihe der Quadratzahlen entsprechen und mit entsprechenden Dreieckszahlen verbunden werden, auch die Kuben der Zahlen der natürlichen Reihe sowohl als auch die der graden und ungraden Zahlen für sich allein. Es scheint, daß hier diese Ableitung zum ersten Male gegeben wird, und die Anfrage des Herrn Enneström in den Bibliotheca Mathematica, Neue Folge 1902, dürfte damit beantwortet sein.
Galten die bisherigen Sätze durchweg dem zweiten Abschnitte des Werks und den dort zu lösenden Aufgaben, so folgen jetzt einige, die der Lösung von Aufgaben gelten, die im ersten Teile selbst noch behandelt werden. Man sieht leicht, daß sie nur zu dem Zwecke aufgestellt sind, fast scheint es, als seien sie eigent-