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so große Rolle spielen, weil fast alle Beweise auf sie zurückge- führt werden und fast alle Rechnungsarten auf sie zurückgreifen, vgl. Schluß der Einleitung des zweiten Abschnitts. Erst wenn wir so den zweiten Abschnitt des Werkes kennen, verstehen wir, wie bereits bemerkt, die Anordnung des ersten Teils, der nun als ein streng methodisch vorgehender erscheint. Für Addition und Subtraktion bedurfte es keiner besonderen theoretischen Erörterungen, er wird dort nur das Axiom gebraucht, daß das Ganze gleich der Summe seiner Teile ist, deshalb ist im ersten Abschnitt von Addition, und Subtraktion nicht die Rede. Wohl aber mußte eine Reihe von Sätzen für die Multiplikation und Division aufgeführt werden. Das geschieht in Nr. 1— 13, Sätzen, die sich zunächst mit der Multiplikation von Polynomen befassen, resp. die Absonderung gemeinsamer Faktoren aus der Summe mehrerer Produkte zum Gegenstand haben, dann weiter dem Beweise gelten, dass die Reihenfolge der Faktoren in einem Produkte gleichgültig ist. Für a. b=h a ist der Satz ohne Be- weis in Nr. 1 ausgeführt(siehe Anm. 8), für diesen Fall findet er sich bei Euklid ja auch schon in arithmetischer Form, be- wiesen ist er zunächst für 3, dann für 4 Faktoren, dann für das Produkt zweier Produkte aus je zwei Faktoren, um dann schließ- lich verallgemeinert zu werden. Die Form der Sätze ist schon hier eine rein arithmetische, wenn man von dem zum festen ter- minus gewordenen Ser-(Flächenzahl-Produkt) absieht, auch die Beweise sind nur in sofern in geometrisches Gewand gekleidet, als die Zahlen durch Linien dargestellt sind, in den späteren Sätzen wird vielfach auch auf dieses Hilfsmittel verzichtet und mit den abstrakten, n. b. unbestimmten, Zahlen operiert. Zwei Sätze, die der Multiplikation von Brüchen gelten und die in der Form von Sätzen ſiher zusammengesetzte Verhältnisse erscheinen, zwei Sätze über Primenzahlen, relative und absolute, und zwei weitere über die Gleich- neit der Resultate bei verschiedener Anordnung mehrerer Opera- tionen gehören dann auch noch zur theoretischen Begründung des im zweiten Teil für die Multiplikation und Division Gebrauchten. Wenn nun diese Sätze auch nicht alle direkt im zweiten Abschnitt in praktischen Beispielen verwendet werden, so sieht man doch leicht ein, dass sie dem praktischen Rechnen dienen sollen, man wird ohne große Mühe finden, wo sie zur Anwendung