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sollte. Vielleicht gehen wir nicht fehl, wenn wir annchmen, daß die Aufgabe, die er sich des weiteren gestellt hat, nämlich die Summation der Quadrate und dritten Potenzen der Glieder einer Larithmetischen Reihe, ihn veranlaßt hat, diese wie jene Reihen auf die natürliche Zahlenreihe zurückzuführen, um in allen Fällen denselben Weg einzuschlagen. Die Ableitung der Formeln, die er für die natürliche Reihe hat, befindet sich naturgemäß im ersten Abschnitt und wird dort zu besprechen sein. Für die geo- metrische Reihe bringt er die moderne Summationsformel in der Gestalt, in der sie Tropfke zuerst bei Prosdocimo de Beldomandi aus Padua(1410), also fast 100 Jahre später findet.

Combinatorik ist die Ueberschrift des 4ten, kurzen Kapitels, in dem nicht die zyklischen Vertauschungen und die Bildungsart der einzelnen Complexionen der Permutations- Variations- und Combinationsaufgaben gebracht, sondern nur die Permutations- Variations- und Combinationszahlen berechnet werden. Da dieser Teil in der Tat nur praktische Beispiele für den entsprechenden des ersten Abschnitts bringt, können wir seine Besprechung zu- nächst noch aufschieben.

Hat so das vierte Kapitel intensiv und extensiv weniger Bedeutung, so ist das fünfte ein desto umfangreicheres und wich- tigeres, es bringt nicht nur die Division mit ganzen Zahlen, mit Sexagesimal- und gewöhnlichen Brüchen, die Addition, Subtraktion und Multiplikation von Brüchen aller Art, sondern es pehandelt auch das Ausziehen der Quadrat- und Kubikwurzeln.

Was zunächst das Divisionsschema betrifft, So ist es weder das alte Ueberwärtsdividieren noch das moderne Unterwärtsteilen, sondern es stellt einen Uebergang vor. Es ist ein modernes Teilen, insofern nicht die Einzel-Teilprodukte, sondern die fertigen Teilprodukte, zur Subtraktion bereit, unterwärts geschrieben werden, es ist das alte Ueberwärtsdividieren, indem jedesmal die neue Dividendenzahl über die vorige geschrieben wird. Da jedoch der Unterschied in der Schreibweise nur ein ganz äußer- licher ist, und der Hauptvorteil der modernen Art— vonm der österreichischen Methode sei für den Augenblick abgesehen— in den fertig hingeschriebenen, zu subtrahierenden Teilprodukten besteht, so kann man immerhin einen großen Fortschritt in diesem Rechenbild erblicken. Ein Vorteil ist übrigens bei dieser