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scheint unter dem Subtrahenden, für den Fall, daß die Ziffer des Minuenden kleiner als die des Subtrahenden ist, tritt die Zuhilfe— nahme der Einheit der nächsthöheren Stufe ein, diese Einheit wird, wie wir es tun, von der nächst höheren Stelle des Minuenden däbgezogen, nicht zu der nächst höheren Stufe des Subtrahenden addiert. Nur wird in Abweichung von unserem Gebrauch die Ver- minderung der nächst höheren Stelle nicht durch einen Punkt sondern durch Darüberschreiben kenntlich gemacht, der Hilfspunkt tritt, nebenbei bemerkt, erst im 16. Jahrhundert auf.

Richtig modern mutet uns das nun folgende zweite Kapitel des zweiten Abschnittes an, man hat die Empfindung, von den termini technici abgesehen, könnte man heute methodisch auch nicht anders vorgehen, als Gersonides es tut. Er gibt zunächst einleitend an, zu welcher Dekade das Produkt der Einheiten zweier Dekaden der ganzen Zahlen gehört, erörtert dabei gleich dasselbe für Produkte der Sexagesimalbrüche und gibt dann für das praktische Rechnen das Schema an, das genau dem unsrigen, wenn wir nach links ausrücken. entspricht. Er geht damit weit über seine Zeit hinaus, wenn Tropfke, Geschichte der Elementar- mathematik, dem wir in den geschichtlichen Daten dieser Dar- stellung folgen, erst im Rechenbuch des Johann Widmann v. Eger (1489) unser Rechenanordnung findet, so sind wir fast zwei Jahr- hunderte früher in der Lage, sie bei unserem Autor nachzuweisen. Inwiefern Regiomontan von diesem beeinflusst ist, wird sich nur schwer nachweisen lassen. Jedenfalls für das Kopfrechnen, sind in dem Kapitel noch einige Weisen der Multiplikation mit Zu- hilfenahme dekadischer Ergänzungen angegeben, die zum Teil für das Quadrieren zweistelliger Zahlen verwendet werden.

Auch im 3. Kapitel finden wir des Neuen genug. Die Ab- leitung der Summenformel für die nicht natürliche Zahlenreihe, sowie für die allgemeine arithmetische Reihe ist eine eigentüm- liche. Es befremdet zuerst, daß ein Mann von der Bedeutung des Levi ben Gerschon, der für die Reihe der natürlichen Zahlen sowie für die graden und ungraden Zahlen für sich eine Summen- formel ganz auf die Weise ableitet und beweist, die wir anwenden, den einen Schritt der Verallgemeinerung nicht getan haben sollte, sondern auf dem Umweg über die Summe einer nicht natürlichen Reihe erst zu der allgemeinen arithmetischen Reihe gelangt sein