15

Größe des Maßes a geführt war, ſich ebenfalls die Möglichkeit des Falles ergeben, daß von allen denjenigen Größen, a“, ꝓb1...., welche Maße von A’(etwa auch ſelbſt Maße von a) ſind, nicht eine einzige zugleich in A aufgehe. A’ und A haben alsdann kein einziges»ge⸗ meinſchaftliches Maß«. Hiermit ſteht der Begriff der„Incommenſurabilität“ zweier ſtetigen Größen, A und A“, feſt,— während zur Bezeichnung des Gegenſatzes hiervon in dem Falle, wo zwei Größen, z. B. A“’ und A“ ein gemeinſames Maß haben, dieſelben vein⸗ ander commenſurabel“ genannt werden.*)—

Wollte man nun zum reinen Eintheilungsgrunde für das Gebiet der Mathematik (Größenlehre) lediglich das Objekt der Behandlung, ohne Rückſicht auf ſonſtige aus der Natur der Sache ſich ergebende Umſtände(logiſche Aufeinanderfolge der einzelnen Theile, Zweckmäßigkeit der Zuſammenſtellung ꝛc.) annehmen, ſo würde mau haben:

I. Lehre von der unſtetigen Größe(Zahl). II. Lehre von den ſtetigen Größen: A. vom Raume; B. von der Zeit. III. Lehre von den abgeleiteten Größen⸗Arten.—

Durch die nächſtfolgenden Betrachtungen jedoch wird vorſtehende ideelle Eintheilung weſent⸗

liche Modificationen erleiden müſſen.—

*) In dem Geſagten liegt, daß zwei Zahlen(das Wort in dem bisherigen, eigentlichen Sinne, nämlich als ganze Zahlen aufgefaßt) einander ſtets commenſurabel ſein müſſen, da ſie ja mindeſtens die Einheit als gemeinſchaftliches Maß beſitzen. Wollen wir jedoch jedes Reſultat irgend einer Zahlenverbindung»Zahl⸗ nennen, indem wir die aus der Arithmetik hierher einſchlägigen Begriffe und Geſetze einmal als bekannt vorausſetzen: ſo wird die ſog.»Irrationalzahl«(das Reſultat der Radicirung einer ganzen Zahl, welche nicht ſelbſt die betreffende Potenz einer andern ganzen Zahl iſt) allerdings eine Größe ſein, welche mit der Einheit incommenſurabel iſt. Damit iſt jedoch noch nicht bewieſen, daß umgekehrt jede Incommenſurabilität zweier Größen nur Ergebniß einer Radicirung ſein müſſe. Da im Obigen der Begriff der Incommenſurabili⸗ rät ganz unabhängig von dem der Irrationalzahl entwickelt wurde: ſo darf derſelbe hier alſo nicht mit dem eines irrationalen Verhältniſſes zweier Größen(wie ein ſolches ſpäterhin z. B. für Hypotenuſe und Katheten gewiſſer rechtwinkeliger Dreiecke nachgewieſen wird) verwechſelt werden.—